Esta pregunta es my parecida a estas dos anteriores (y básicamente sólo voy a repetir lo que respondí en esas):
1.
http://irracional.org/index.php/290/maxima-area-de-un-cuadrilatero-inscrito-en-una-elipse
2.
http://irracional.org/index.php/306/cuantos-como-ubican-elipse-cuadrilateros-inscritos-maxima
Cualquier elipse se puede transformar en un círculo usando una transformación afín (o sea, una de la forma $(x,y) \mapsto (Ax+By+C, Dx+Ey+F)$). Las transformaciones afines preservan muchas propiedades gométricas, por ejemplo: conservan paralelismo y tangencia, conservan la razón en la que un punto divide a un segmento, mandan elipses (incluyendo círculos como caso especial) en elipse, mandan el centro de una elipse al centro de su imagen. Así que para hallar los cuadriláteros circunscritos a una elipse con área mínima, basta hallar una transformación afín que convierta la elipse en un círculo, resolver el mismo problema para el círculo y tomar la imagen inversa de los cuadriláteros mínimos obtenidos bajo la transformación afín. Es un resultado clásico que para el círculo los cuadriláteros circunscritos de área mínima son los cuadrados, así que en principio ya sabemos todo acerca del problema para la elipse, pero hagámoslo explícito.
El cuadrado circunscrito a un círculo de radio $r$ tiene área $4r^2$ y el círculo mismo tiene área $\pi r^2$. La elipse con semiejes $a$ y $b$ tiene área $\pi a b$, así que, como las transformaciones afines conservan razones de áreas, concluímos que los cuadriláteros mínimos circunscritos a la elipse tienen área $4ab$. Todos estos cuadriláteros mínimos son paralelogramos tangentes a la elipse en los puntos medios de sus lados (puesto que eso es cierto para los cuadrados circunscritos al círculo y las transformaciones afines conservan paralelismo, tangencia y puntos medios). Dado un punto $P$ en el círculo podemos describir al cuadrado circunscrito que es tangente ahí como sigue: otro de los puntos de tangencia $R$ es el punto diametralmente opuesto a $P$, los dos puntos de tangencia restantes $Q$ y $S$, son los puntos donde las tangentes al círculo son paralelas a la recta $PR$ (también podríamos decir que $QS$ es el diámetro perpendicular a $PR$, pero esa descripción no nos sirven pues las transformaciones afines no conservan perpendicularidad). Como todo en esa descripción de cómo hallar $Q$, $R$ y $S$ dado $P$ es invariante bajo transformaciones afines, se vale también para la elipse.
Nótese que cuando $P$, $Q$, $R$ y $S$ son los vértices de la elipse (los extremos de los ejes), el cuadrilátero circunscrito con esos puntos de tangencia es un rectángulo. Cuando $PQ$ y $QR$ son paralelos a los ejes, el cuadrilátero circunscrito es un rombo. En los demás casos, es un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo.
(Como ya dije antes, me gusta este argumento usando transformaciones afines porque permite resolver el problema sin hacer cuentas.)
