Excentricidad de una elipse, cuyo lado recto pertenece a un Δ equilátero inscrito.

Question

En cierta elipse, cada lado recto es, a su vez, lado de un triángulo equilátero inscrito en la misma cónica.

Encuentra el valor de la excentricidad de la elipse.

Answer 1

Como de costumbre, el semi-eje mayor es $a$, el semi-eje menor $b$, y la semi-distancia focal es $c$. Entonces el lado recto resulta igual a $\frac{2b^2}{a}$ y como es la base de un triángulo equilátero, el triángulo tiene altura

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{2b^2}{a} = \frac{\sqrt{3}b^2}{a}.$$

Per esta altura es también la distancia del foco al vértice; es decir, $a-c$. Entonces tenemos

$$a-c = \frac{\sqrt{3}(a^2-c^2)}{a}$$

de donde $c = (1-\frac{1}{\sqrt{3}})a$, y la excentricidad es $e = \frac{c}{a} = 1-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

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Actualizacion: (Gracias a Michel Anthony)

Me comi un signo de menos... la ecuación tiene dos soluciones imposibles: Si $c=a$, tenemos un punto. Si $c=(\frac{1}{\sqrt{3}}-1)a$, tenemos una distancia negativa :)

Pero también debemos estudiar la posibilidad de que el triángulo se extienda de un lado recto hasta el vértice opuesto en la elipse. En ese caso (que antes asumí era imposible) tenemos que la altura es $a+c$ y la ecuación

$$a+c = \frac{\sqrt{3}(a^2-c^2)}{a}$$

si tiene solución válida! Claro, $c=-a$ no funciona, pero $c=\frac{2a}{\sqrt{3}+3}$ si; y la excentricidad resulta ser

$$e = \frac{c}{a} = \frac{2}{\sqrt{3}+3}.$$

Comments

Gracias por participar, Rodrigo.

Bueno, según veo, ha tomado el vértice más cercano al lado recto; así, la distancia del respectivo foco hacia el vértice, sería "a–c".
De allí, se desprende la ecuación que muestra: "a–c = √3(a²–c²)/a", la que, sin embargo —verifique el cálculo, por favor—, arroja las soluciones:

 c₁ = a
 c₂ = (1/√3 – 1)a = –(1 – 1/√3)a

Ambos valores de "c" resultan absurdos, pues contradicen la relación "0<c<a".

¿Qué dice al respecto?

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Agradeciendo nuevamente a Rodrigo, por darse el tiempo:

Efectivemente, luego de lo anterior, la solución debe buscarse con el 'otro' vértice, más distante.

Se tiene la ecuación: "a+c = √3(a²–c²)/a", la que, al resolverse, deja las soluciones:

 c₃ = –a
 c₄ = (1 – 1/√3)a

Así, siendo: 0< (1 – 1/√3) <1, se toma c = c₄ = (1 – 1/√3)a, resultado equivalente al que mostró en su respuesta. { Pues: 2/(√3+3) = 1 – 1/√3 }

Finalmente, la expresión 'racionalizada' de la excentricidad:

$e = \frac{c}{a} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} ≅ 0.42265$