Generar [0,1] usando dos operaciones. [cerrada]

Question

Demostrar la siguiente afirmación.

Sea $A$ el conjunto definido a continuación:

$1 \in A$
Si $x \in A$, entonces $1-x \in A$
Si $x \in A$, entonces $\frac{x}{2} \in A$
$A$ es cerrado.

Afirmación: $A = [0,1]$.

Comments

Es básicamente igual a esta otra pregunta: http://irracional.org/index.php/200/generar-todos-los-enteros-usando-dos-operaciones La demostración de Carlos funciona también aquí.

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Buh! debí haber preguntado esto directamente.

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Pero no veo la relación directa, la prueba usa "$k$ números consecutivos en $\{1,…,n\}$ " pero ¿qué significa aquí $k$ consecutivos?

Quizá tienes razón y se adapta fácilmente, voy a mirarla con calma.

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Yo decía reemplazar "k números consecutivos" con un intervalo. La prueba iría así: el complemento de A en [0,1] es abierto, así que si ese complemento no es vacío, contiene un intervalo J. Como 1/2 está en A, el intervalo J debe estar contenido en [0,1/2) o en (1/2,1). Usando 1-x si hace falta podemos obtener un intervalo J' en [0,1/2). Pero si J' esta en el complemento de A, también debe estar 2J' en el complemento. Esto prueba que para cada intervalo en el complemento, hay un intervalo del doble de longitud que también esta en el complemento. Duplicando la longitud suficientes veces llegamos a una contradicción. Como se puede ver, esto es exactamente análogo al argumento de Carlos.

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¡Claro! Ya la cerré, disculpas.