Demostración en Teoría de grupos (números primos)

Question

Buenas tardes. Si $a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}$ y $b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}$ donde los $p_i$ son números primos distintos y donde $\alpha_i,\beta_i=>0$, demuestre que $(a,b)=p_1^{\delta_1}p_2^{\delta_2}...p_k^{\delta_k}$ donde $\delta_i=min(\alpha_i,\beta_i)$ Espero la gran ayuda de alguien. Gracias.

Answer 1

Claramente, $p_{1}^{\delta_{1}}\cdots p_{k}^{\delta_{k}}$ divide tanto a $a$ como a $b$. Ahora bien, si $d$ es otro divisor común de $a$ y de $b$ entonces $d= p_{1}^{c_{1}}\cdots p_{k}^{c_{k}}$ para algunos números enteros no negativos $c_{1}, \ldots, c_{k}$. Como $d|a$ entonces para cada $i \in \{1, \ldots, k\}$ se cumple que $c_{i} \leq \alpha_{i}$; como $d|b$ entonces para cada $i \in \{1, \ldots, k\}$ se cumple que $c_{i} \leq \beta_{i}$; de las dos observaciones anteriores se obtiene que para cada $i \in \{1, \ldots, k\}$ se cumple que $c_{i} \leq \mathrm{min}\left\{\alpha_{i}, \beta_{i}\right\} = \delta_{i}$ y, en consecuencia, $d|p_{1}^{\delta_{1}}\cdots p_{k}^{\delta_{k}}$. Se tiene así que $d=(a,b)$, l.c.q.d.