Demostración en Teoría de grupos (mapeos)

Question

Hola. Sean $A$ y $B$ conjuntos distintos del vacío, si hay una correspondencia biyectiva de $A$ a $B$, demuestre que también la hay de $B$ a $A$. Ojala alguien pueda ayudarme. Gracias.

Comments

Qué has intentado?

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Como hay una correspondencia biyectiva de A a B entonces la correspondencia es inyectiva y sobreyectiva. Como es inyectiva, entonces tenemos que las imagenes de x1 y x2 son distintas (donde xi son elementos de A). Como es sobre entonces tenemos que todos los yi son imagenes de algún elemento de A.

Pero queremos demostrarlo al revés.

Supongamos que la correspondencia de B a A no es sobreyectiva, entonces existirá al menos un elemento xo tal que no es imagen de nadie, donde la función es x = f^-1(y), pero esto no es posible, ya que desde un inicio supusimos que la correspondencia de A a B es biyectiva, o sea, todos los xi de A tienen imagen, luego la correspondencia de B a A es sobre A.


Supongamos que la correspondencia de B a A no es inyectiva, entonces f^-1(y1) = f^-1(y2) = x para distintos y1 & y2. Esto quiere decir que en nuestra correspondencia inicial de A a B, f(x) =y2 = y2, lo cual esto no puede ser posible porque estaría contradiciendo la definición de función.

Siento que voy mal.

Answer 1

Sea $f$ una biyección entre $A$ y $B.$

Define $$f^{-1}:=\{(b,a)\in B\times A:(a,b)\in f\}.$$ Se desea mostrar que $f^{-1}$ es una biyección (para ello, antes se muestra que es una función).

1. Sea $b\in B.$ Como $f$ es suprayectiva, entonces existe un $a\in A$ tal que $(a,b)\in f$ y por lo tanto $(b,a)\in f^{-1},$ i.e. un elemento del dominio tiene al menos una imagen.

2. Ahora, sean $(b,a_0)$ y $(b,a_1)$ elementos de $f^{-1}.$ Por definición, $(a_0,b)$ y $(a_1,b)$ están en $f$ y como $f$ es inyectiva, entonces $a_0=a_1,$ i.e. un elemento del dominio tiene a lo más una imagen.

Por lo tanto $f^{-1}$ es una función. Falta mostrar que $f^{-1}$ es una biyección.

3. Sea $a\in A.$ Como $f$ es una función, existe un $b\in B$ tal que $(a,b)\in f$ y por lo tanto, $(b,a)\in f^{-1},$ i.e. $f^{-1}$ es suprayectiva.

4. Sean $(b_0,a)$ y $(b_1,a)$ elementos de $f^{-1}.$ Por definición, se tiene que $(a,b_0)$ y $(a,b_1)$ están en $f$ y como $f$ es una función, entonces $b_0=b_1,$ i.e. $f^{-1}$ es inyectiva.

Por lo tanto, como $f^{-1}$ es suprayectiva e inyectiva, entonces $f^{-1}$ es biyectiva.