¿Qué pasó con los números exorbitantes?

Question

Estoy leyendo un libro sobre conjuntos ordenados que incluye la siguiente definición:

Un ordinal $\lambda$ es exorbitante si $\lambda=\omega_\lambda$.

En el texto se prueba que si un ordinal inicial $\omega_\lambda$ con $\lambda$ ordinal límite es regular, entonces $\lambda$ es exorbitante. El libro dice que Hausdorff probó que los números exorbitantes existen y tiene una referencia:

Hausdorff, F., Grundzuge der Mengenlehre, Chelsea Publishing Company, New York
1949.

Pero el artículo de wikipedia en inglés sobre "large cardinals" dice la siguiente frase:

"In the mathematical field of set theory, a large cardinal property is a certain kind of property of transfinite cardinal numbers. Cardinals with such properties are, as the name suggests, generally very "large" (for example, bigger than the least α such that α=ω_α). The proposition that such cardinals exist cannot be proved in the most common axiomatization of set theory, namely ZFC, [...]"

Eso me deja dudoso.

¿Existen o no se puede probar que existen? ¿Asumió Hausdorff axiomas adicionales al probar su existencia?

Gracias.

Añado link al artículo de wikipedia que cito: https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal

Answer 1

Es claro que existen ordinales exorbitantes: simplemente define $\alpha_0$ arbitrariamente, $\alpha_{n+1} = \omega_{\alpha_n}$ y entones $\lambda(\alpha_0)=sup_{n\in\omega} \alpha_n$ es exorbitante. Como el ordinal $\lambda(\alpha_0)$ construído así es al menos $\alpha_0$, es claro que hay ordinales exorbitantes tan grandes como quieras.

Ahora, los ordinales exorbitantes que obtienes de esa construcción son singulares pues por construcción tienen cofinalidad $\omega$. Los ordinales exorbitantes regulares en la terminología moderna se llaman "cardinales débilmente inaccesibles" y de esos sí se sabe que ZFC no puede probar su existencia (más precisamente, se puede demostrar que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC+"no existen cardinales débilmente inaccesibles").

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¡Gracias por tan completa respuesta!