Grupos de permutaciones infinitos

Question

La formulación de la pregunta es muy sencilla: Dados dos conjuntos $X$ y $Y$, ¿Es cierto que $|X|=|Y|$ si y sólo si $S_X\cong S_Y$? ($S_Z$ denota el grupo de biyecciones del conjunto $Z$ en sí mismo ("permutaciones"), así que la pregunta es si tener la misma cardinalidad es equivalente a tener grupos de permutaciones isomorfos). (Nótese que la parte del "sólo si" es trivial, por lo que la pregunta realmente concierne a la otra implicación: ¿Es cierto que si $S_X\cong S_Y$ entonces $|X|=|Y|$?).

[Confesión: hace varios años vi, en una lista de ejercicios de la licenciatura, esta pregunta --pero en vez de "¿es cierto...?" decía "demuestre que...". Hasta la fecha no he podido demostrarlo, por lo cual estoy abierto a la posibilidad de que no sea cierto y por ello reformulé la pregunta así.]

Answer 1

Esto lo preguntó Joel David Hamkins hace tiempo en MathOverflow. La respuesta es que sí, $S_X \cong S_Y \implies |X| = |Y|$. Recibió varias buenas respuestas; me gustó particularmente la de Andreas Blass que probó que para $X$ infinito, $|X|$ es el tamaño mínimo  de una clase de conjugación no trivial en $S_X$.También mencionaron una serie de ejercicios guiados en el libro de álgebra de Dummit and Foote que contestan la pregunta.

Para conveniencia del lector, aquí está el argumento de Andreas Blass:

Supongamos que $X$ es infinito y que $C$ es una clase de conjugación no trivial (es decir, que no consta solo de la identidad) de $S_X$. Sea $\sigma \in C$, como $C$ no es trivial, $\sigma$ no es la identidad y entonces hay algún $x \in X$ con $\sigma(x) \neq x$. Ahora, para cualquier $y \in X \setminus \{x\}$, consideremos la transposición $\tau = (\sigma(x) y)$. La permutación $\tau \circ \sigma \circ \tau^{-1}$ está en $C$ y manda $x$ a $y$. Variando $y$ obtenemos $|X|$ distintos conjugados de $\sigma$ por lo que $|C| \le |X|$.

Así que cualquier clase de conjugación no trivial tiene al menos $|X|$ elementos. Por otra parte, siempre hay clases de conjugación de esa cardinalidad. Por ejemplo, el conjunto de todas las transposiciones es una clase de conjugación y su cardinalidad es $|X|^2 = |X|$.

Comments

Efectivamente, veo que la respuesta de Blass es muy bonita. La que utiliza el teorema de Ulam-Baer-Schreier no me agradó tanto, presumiblemente porque no tengo ni idea de cómo se demuestra el susodicho teorema (y la vez que traté  de averiguarlo, la única fuente que logré encontrar era el artículo en alemán de Baer, el cual ni con Google traductor logró tener ningún sentido para mí).