Un producto semidirecto es básicamente una manera de "pegar" dos grupos, cuando uno actúa en el otro, de modo que podamos pensar esa acción como si fuera la conjugación: si $K$ actúa en $H$ (denotamos la acción por $\varphi:K\times H\longrightarrow H$), entonces quisiéramos "pegar", o "amalgamar", los dos grupos considerando todos los productos formales de la forma $hk$, con $h\in H$ y $k\in K$. La cuestión es cómo multiplicar este tipo de expresiones: ciertamente sabemos cómo multiplicar dos elementos de $H$, y dos elementos de $K$, pero no es claro cómo relacionar elementos de $H$ con elementos de $K$, y la manera como se hace es decretando que conjugar un $h\in H$ por un $k\in K$ resulta en $\varphi(k,h)\in H$. En otras palabras, estamos decretando que $H$ será un subgrupo normal y, para multiplicar dos elementos $hk$ y $h'k'$ el truco es:
$(hk)(h'k')=h(kh'k^{-1})kk'=(h\varphi(k,h))(kk')$.
(La manera "formal" de hacer esto es por medio de parejas ordenadas, y lo que describo arriba es la motivación de que la multiplicación en un producto semidirecto se defina como se define). Recíprocamente, si $G=HK$ donde $H$ es un subgrupo normal de $G$ y $K$ es un subgrupo de $G$ con $H\cap K=\{e\}$, entonces $G$ es isomorfo al producto semidirecto de $H$ y $K$ con la acción de $K$ en $H$ dada por conjugación.
La conclusión de todo este choro es que los productos semidirectos son una forma de "visualizar" cualquier acción dada como si fuera un caso particular de una acción muy particular: la acción por conjugación. Ahora bien, esto funciona cuando un grupo actúa en otro grupo. Cuando un grupo actúa en un conjunto con algún otro tipo de estructura que no sea de grupo (o con ninguna estructura), entonces no me queda del todo claro que esta acción se pueda ver como un producto semidirecto.
