Problema sobre homomorfismos.

Question

Tengo este problema y he usado el primer teorema de isomorfismo, pero no veo cómo puedo probar la conclusión, quiero demostrar que el hecho de que $\mathbb{Z}$ tenga subgrupos de índice n para todo n entero positivo implica que $G$ también los tendría.

El problema dice así:

Sea $f$ un homomorfismo suprayectivo de $G$ en $\mathbb{Z}$. Demostrar que para todo entero positivo $n$, G tiene un subgrupo normal de índice $n$ (Sugerencia: Definir un homomorfismo suprayectivo de $G$ en $\mathbb{Z}_n$ y usar el primer teorema de isomorfia).

Answer 1

Considera el homomorfismo $F:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{n}$ que a cada $z\in \mathbb{Z}$ lo manda a su clase de congruencia m\'odulo $n$. Se cumple entonces que $F\circ f$ es un homomorfismo sobreyectivo de $G$ en $\mathbb{Z}_{n}$ y que $G/ \mathrm{Ker}(F\circ f)$ es un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}_{n}$.

Comments

Y entonces tiene cardinal n, de lo que cada Kernel es de índice n... vaya, gracias.