¿Existe algo que se comporte como los divisibles para grupos no abelianos?

Question

Sabemos que para grupos abelianos se cumple que: todo grupo abeliano se encaja en un divisible. Más aún, todo divisible es una suma directa de copias de $\mathbb Q$ y $p$-grupos de Prüfer $\mathbb Z(p^\infty)$.

Me interesa saber si hay algo parecido en el contexto de los no abelianos. ¿Existe algún teorema que diga que todo grupo (no necesariamente abeliano) se encaja en la suma directa de algún tipo de grupos en particular, grupos concretos y fáciles de visualizar?

Quizá deba mencionar que, para lo que yo quiero hacer, lo primordial en el caso de $\mathbb Q$ y los $\mathbb Z(p^\infty)$ es que son numerables; por lo cual si alguien conoce una respuesta acerca de la posibilidad de encajar cualquier grupo en la suma directa de grupos numerables (o al menos de cardinalidad acotada, digamos que máximo el continuo o algo así) entonces también estaría interesado, aún cuando los grupos en cuestión no necesariamente sean "concretos y fáciles de visualizar".

Comments

Después de pensarlo un ratito, me doy cuenta de que la respuesta a mi pregunta es, en general, negativa: por ejemplo, puedo demostrar que ningún grupo libre con una infinidad no numerable de generadores se puede encajar en una suma directa de grupos numerables. Sin embargo, es posible que haya resultados como el que busco para ciertas clases de grupos, por ejemplo, pudiera ser que hubiera un resultado de este tipo para grupos amenos... cualquier resultado de este estilo sigue siendo de mi interés.

Answer 1

Listo a continuación dos resultados clásicos parcialmente relacionados con lo que preguntas para motivar a la comunidad a agregar más respuestas:

1. (Cayley) Cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de algún  conjunto $X$.

2. (Higman, Neumann, and Neumann) Cualquier grupo numerable $G$ se puede encajar en un grupo $H$ con dos generadores. Este resultado puede encontrarse, por ejemplo, en el capítulo de grupos libres y productos libres del libro de teoría de grupos de J. J. Rotman.

Por el momento, cambio y fuera...

Comments

¿Hay alguna hipótesis extra, tal como que $G$ sea libre de torsión? De lo contrario no veo cómo pueda existir tal encaje...

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Tienes razón, David... Ahí ya edité mi respuesta.