Grupos divisibles y máximos.

Question

1.) Consideremos el grupo aditivo de un campo finito, entonces ¿tiene subgrupos máximos?

2.) Sea $G$ un grupo abeliano. Si $G$  no tiene subgrupos máximos entonces ¿$G$ es divisible?

3.) Bajo que hipótesis se puede asegurar la existencia de subgrupos máximos en un grupo abeliano.

Answer 1

1. De hecho, todo grupo finito $G$ con más de un elemento tiene al menos un subgrupo máximo. Para convencernos de esto consideramos el siguiente proceso. Fijamos un subgrupo propio $H_{1}$ de $G$. Si $H_{1}$ es subgrupo máximo de $G$ entonces terminamos; en caso contrario, consideramos un subgrupo propio $H_{2}$ de $G$ tal que $|H_{2}|>|H_{1}|.$ Si $H_{2}$ es subgrupo máximo de $G$ entonces terminamos; en caso contrario, consideramos un subgrupo propio $H_{3}$ de $G$ tal que $|H_{3}|>|H_{2}|$. Puesto que $G$ es un grupo de orden finito, el proceso anterior devuelve en algún momento un subgrupo máximo de $G$.

2. Sí. Demostración: Sea $G$ un grupo abeliano sin subgrupos máximos. Si suponemos que $G$ no es divisible entonces existe un número primo $p$ tal que $pG:=\{pg: g\in G\}$ es un subgrupo propio de $G$. Luego, como el orden de cada elemento del grupo $G/pG$ divide a $p$, $G/pG$ admite estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Si $\mathcal{B}$ es una base de dicho espacio vectorial y $\mathcal{B}^{\prime}$ se obtiene de $\mathcal{B}$ al remover un elemento, entonces $\mathrm{Span}(\mathcal{B}^{\prime})$ da lugar a un subgrupo máximo $S^{\ast}$ de $G/pG$. El teorema de la correspondencia (en grupos) implica en tal caso que $G$ tiene un subgrupo máximo $S$ (contradicción).

3.  Por lo que se mostró en el inciso 2, una condición necesaria es que el grupo abeliano $G$ no sea divisible. Se puede probar que esa condición también es suficiente.