Grupos de exponente 2 y mayor que 2

Question

Hace unos días (muchos) hice una pregunta relacionada a la existencia de grupos de exponente 2, para ser mas específicos.

 Existe un único grupo abeliano $G$  tal que $\aleph_0\leq{|G|}$ y además todo elemento es de orden 2

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La siguiente cuestión me parece interesante al menos para mostrar que lo anterior no se cumple para exponente mayor que dos.

¿Para cada natural $n>2$  existe al menos un grupo $G$ tal que para cada $x\in{G}$ sea de orden $n$  y sin embargo $G$ no sea abeliano?,  en caso de existir ¿éste es único ?

 

 

Answer 1

Si $n$ no es primo, entonces no existe un grupo que cumpla la condición que pides, pues el Teorema de Cauchy asegura la existencia de al menos un elemento de orden primo para cada divisor primo de $n$.

Si $n=p$ es un número primo, y $G$ se puede descomponer en producto semidirecto iterado de $\mathbb{Z}_p$, entonces este producto semidirecto es de hecho un producto directo pues no hay morfismos $\mathbb{Z}_p\to{\rm Aut}\mathbb{Z}_p$, ya que ${\rm Aut}\mathbb{Z}_p\cong \mathbb{Z}_{p-1}$. Por tanto, tal grupo sería abeliano y se describiría como coproducto del grupo de orden $p$.

Si quito la hipótesis de descomposición que impuse en el párrafo anterior, puedo afirmar que cualesquiera dos subgrupos de orden $p$ de $G$ se intersectan trivialmente. Sin embargo, no puedo ver en este momento que exista al menos un subgrupo normal.

Para grupos finitos, estoy seguro que esto es cierto pues los $p$-grupos finitos son solubles. Luego, soluble y simple implica abeliano de orden primo. Para infinitos no estoy seguro de que los $p$-grupos sean solubles, pues no tengo la certeza de que el grupo cumpla con las condiciones para que la sucesión de derivadas converja a cero.

Answer 2

Tienes que reformular tu pregunta pues así como aparece ahora, la condición "cada $x \in G$ es de orden $n$" implicaría necesariamente que $n=1$.

Suponiendo que quieres decir  "cada $ g \in G \setminus \{e\}$ es de orden $n$" entonces la respuesta a tu primera pregunta es afirmativa cuando $n$ es un número primo. En tal caso basta con que consideres el grupo de las matrices

$\displaystyle \left\{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) :a,b,c \in \mathbb{F}_{n}\right\}$

bajo la multiplicación. Este grupo es no abeliano y cada elemento distinto de la matriz identidad tiene orden $n$.