i) Dado un primo $z$ que divide al orden de $G$ denotemos con $n_{z}$ al número de $z$-subgrupos de Sylow de $G$. Para establecer el aserto en cuestión basta demostrar que $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$: esto lo hacemos por reducción al absurdo. Si tanto $n_{q}$ como $n_{r}$ fueran mayores que $1$ entonces de uno de los incisos del teorema de Sylow se desprende que
$n_{q}>r$
y que
$n_{r} = pq$.
Además, como $G$ tiene al menos un $p$-subgrupo de Sylow entonces lo que se sigue es que $G$ tiene más de $r(q-1)$ elementos de orden $q$, exactamente $pq(r-1)$ elementos de orden $r$ y al menos $p-1$ elementos de orden $p$. Entonces, el número de elementos del grupo $G$ sería al menos
$r(q-1) + pq(r-1)+(p-1)+1$
$= r(q-1) + pqr +p(1-q)$
$= pqr + (q-1)(r-p)$
$> pqr.$
¡Lo anterior es claramente absurdo! En consecuencia, $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$. Como cualesquiera dos $q$-subgrupos de Sylow de $G$ (resp. cualesquiera dos $r$-subgrupos de Sylow de $G$) son conjugados entre sí, el hecho de que $n_{q}=1$ o $n_{r}=1$ implica de inmediato que o el $q$-subgrupo de Sylow de $G$ es normal o el $r$-subgrupo de Sylow de $G$ lo es.
Si $n_{q}=1$, denotemos con $H_{q}$ al $q$-subgrupo de Sylow de $G$. Luego, si $I_{r}$ es uno de los $r$-subgrupos de Sylow de $G$, de la normalidad de $H_{q}$ en $G$ se sigue que $H:=H_{q}I_{r} = \{hk: h\in H_{q}, k \in I_{r}\}$ es un subgrupo normal de $G$ (la normalidad es consecuencia del hecho que el subgrupo $H$ tendría por índice al menor número primo que divide a $|G|$).
Análogamente, si $n_{r}=1$, denotemos con $H_{r}$ al $r$-subgrupo de Sylow de $G$. Luego, si $I_{q}$ es uno de los $q$-subgrupos de Sylow de $G$, de la normalidad de $H_{r}$ en $G$ se sigue que $H:=H_{r}I_{q} = \{hk: h\in H_{r}, k \in I_{q}\}$ es un subgrupo normal de $G$ (la normalidad es consecuencia del hecho que el subgrupo $H$ tendría por índice al menor número primo que divide a $|G|$).
ii) Cualquier $r$-subgrupo de Sylow de $H$ es normal en $H$ pues su índice (en $H$) es igual al menor número primo que divide a $|H|$. De esto y del hecho que cualesquiera dos $r$-subgrupos de Sylow de un grupo finito son conjugados se sigue que en el grupo $H$, $n_{r}=1$. Así, si denotamos con $I$ al único $r$-subgrupo de Sylow de $H$ y tomamos $f \in \mathrm{Aut}(H)$, al ser $f(I)$ un subgrupo de $H$ de orden $|I|$, obtenemos que $f(I) = I$. De esto se desprende que $I \mbox{ } \mathrm{ char } \mbox{ } H$. Afirmamos que $I$ es también normal en $G$: como ya tenemos que $H$ es normal en $G$ y que $I$ es un subgrupo característico de $H$, basta con aplicar el siguiente ejercicio clásico (en el libro de Herstein, al menos):
Sean $K$ un grupo y $N$ un subgrupo normal de $K$. Si $M$ es un subgrupo característico de $N$ entonces $M$ es subgrupo normal de $K$.
iii) Si $q$ no divide a $r-1$ entonces puede probarse que $H$ es isomorfo al grupo cíclico $\mathbb{Z}_{q}\times \mathbb{Z}_{r}$. De esto se desprende, en particular, que $H$ es un grupo cíclico. Luego, si $J$ es el único subgrupo de $H$ de orden $q$, el aserto en cuestión se obtiene como consecuencia de otro ejercicio famoso:
Si un subgrupo cíclico $T$ de un grupo $K$ es normal en $K$ entonces todo subgrupo de $T$ también es normal en $K$.
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Es de notar que los dos ejercicios aludidos tienen que ver con condiciones que garantizan la normalidad de subgrupos de subgrupos normales de un grupo...
