Uno de grupos y una sucesión exacta.

Question

Para cuales grupos abelianos $G$ cumplen que:

$0\to Z_4 \to G \to Z_{16} \to 0$ sea una sucesión exacta

Desde luego tenemos que los $G$ no son isomorfos entre sí

Comments

Rayos! No había visto que $G$ era abeliano. Pensé en todas las extensiones de grupos de $\mathbb{Z}_4$ por $\mathbb{Z}_{16}$, y en estas aparecen productos semidirectos de estos dos grupos, los cuales no son abelianos. Pensé que la pregunta era mucho más complicada.

Answer 1

Si $f$ es el homomorfismo de $\mathbb{Z}_{4}$ en $G$ y $g$ es el homomorfismo de $G$ en $\mathbb{Z}_{16}$ entonces de la exactitud de la sucesión se sigue que $f$ es inyectivo y $g$ es sobreyectivo. De la sobreyectividad de $g$ y el primer teorema de isomorfismo se sigue que

$G/\mathrm{Ker}(g) \cong \mathbb{Z}_{16}$ ............ (1)

Por otra parte, de la inyectividad de $f$ y de la exactitud de la sucesión se obtiene que $|\mathrm{im}(f)|=4=|\mathrm{Ker}(g)|$. De esto último y de (1) se desprende que $|G| = 64=2^{6}$. Así, $G$ podría ser en principio cualquiera de los $11$ grupos abelianos distintos (hasta isomorfismo) de orden $64$ (el número de grupos abelianos distintos (hasta isomorfismo) de orden $2^{n}$ es igual al número de particiones del número $n$). Puesto que $\mathbb{Z}_{4}$ tiene elementos dos elementos de orden $4$ y $f:\mathbb{Z}_{4} \to G$ es monomorfismo entonces $G$ debe ser un grupo abeliano con al menos un elemento de orden $4$. Esto reduce las $11$ posibilidades para $G$ a sólo $7$:

Caso I. $G = \mathbb{Z}_{64}$

Caso II. $G = \mathbb{Z}_{32} \oplus \mathbb{Z}_{2}$

Caso III. $G = \mathbb{Z}_{16} \oplus \mathbb{Z}_{4}$

Caso IV. $G = \mathbb{Z}_{16} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$

Caso V. $G = \mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{8}$

Caso VI. $G = \mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{4}  \oplus \mathbb{Z}_{2}$

Caso VII. $G=\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$

El primer caso tiene lugar (por ejemplo) cuando $f: \mathbb{Z}_{4} \to \mathbb{Z}_{64}$ es el homomorfismo definido por $f([1]) = [48]$ y $g:\mathbb{Z}_{64} \to \mathbb{Z}_{16}$ es el homomorfismo definido por $g([1])=[3]$.

El segundo caso tiene lugar si $f:\mathbb{Z}_{4} \to \mathbb{Z}_{32} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ es el homomorfismo definido por $f([1]) =([24],[1])$ y $g:\mathbb{Z}_{32} \oplus \mathbb{Z}_{2} \to \mathbb{Z}_{16}$ es el homomorfismo definido por $g([a],[b])=[a+8b].$

El tercer caso tiene lugar si $f:\mathbb{Z}_{4} \to \mathbb{Z}_{16} \oplus \mathbb{Z}_{4}$ es el homomorfismo definido por $f([1]) =([4],[1])$ y $g:\mathbb{Z}_{16} \oplus \mathbb{Z}_{4} \to \mathbb{Z}_{16}$ es el homomorfismo definido por $g([a],[b])=[a+12b]$.

Finalmente, los casos cinco, seis y siete no pueden darse pues ni $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{8}$ ni $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ ni $\mathbb{Z}_{8} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ tienen elementos de orden $16$.

En conclusión, los grupos abelianos para los que se cumple que esa sucesión es exacta son $\mathbb{Z}_{64}$, $\mathbb{Z}_{32}\oplus \mathbb{Z}_{2}$ y $\mathbb{Z}_{16}\oplus \mathbb{Z}_{4}$.

Comments

En el segundo caso, $g$ no esta bien definido, no? $(a,b)=(a,b+2)$. Igual en el cuarto caso.

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Tienes razón, Carlos. Corrigiendo...

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No. Me referia que por ejemplo en el segundo caso $(a,b)=(a,b+2)$ pero $g(a,b)=2a+b\neq 2a +b+2 =g(a,b+2)$.

Tampoco se puede definir $f$ como $f([1])=(c,0)$ porque entonces tendriamos que $G/im(f)\cong \mathbb{Z}_{32}/\mathbb{Z}_4\oplus\mathbb{Z}_2\cong \mathbb{Z}_{16}$. Lo cual no es posible. Es decir, la segunda coordenada de $f$ no puede ser cero.

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Asi ya quedo bien el segundo caso. Solo falta el cuarto caso, pero creo que ese no es posible.

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No eso no ayuda. $\mathbb{Z}_2$ son las congruencias modulo $2$, sin importar como las escribas.

Por ejemplo, con tu definicion de $g$:
$1=g(0,0,1)=g(0,0,1+1+1)=g(0,0,1)+g(0,0,1)+g(0,0,1)=$
$=1+1+1=3 \mod 16$.

$g(0,0,1)$ debe ser un elemento en $\mathbb{Z}_{16}$ de orden 2.
Ya escribi algo mas en mi respuesta de arriba.

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Estoy confundido. O bien no deberías listar los casos IV y V (que no pueden ser por no tener elementos de orden 16), o bien se te escaparon algunos casos, como $\mathbb Z_8\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ (que tampoco puede ser por la misma razón, pero entonces nunca se dijo por qué se descartaba)...

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David: Antes de listar esos seis casos, descarté por la inyectividad de $f$ sólo a los grupos abelianos de orden $64$ que no tienen elementos de orden $4$ ($\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2} \oplus\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$, etc.). Quizás debí haber eliminado  desde ahí a todos los grupos abelianos de orden $64$ sin elementos de orden $16$ pero como ya eran menos casos opté por arrancarme con el análisis de cada uno de ellos sin más preámbulos. Como quiera que sea, tienes razón en que se me escapó el grupo que mencionas (afortunadamente es de los que se descartan a golpe de vista, como bien señalaste ya). Saludos.

Answer 2

$G$ es un grupo abeliano de orden $64$ porque $G/\mathbb{Z}_4\cong\mathbb{Z}_{16}$, entonces es de la forma $\mathbb{Z}_{q_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}_{q_s}$ con $q_i$ potencias de dos. Ademas como $\mathbb{Z}_4$ inyecta en $G$, tenemos que al menos uno de los $q_i$ es multiplo de 4. La unica posibilidad es entonces $\mathbb{Z}_{16}\oplus\mathbb{Z}_4$.

Las otras posibilidades son $\mathbb{Z}_{64}$ y $\mathbb{Z}_{32}\oplus\mathbb{Z}_4$ (ver la respuesta de Jose Hdz).

Solo falta descartar el caso $\mathbb{Z}_{16}\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$. Escribamos $f(1)=(a,b,c)$. Entonces $b,c\neq 0$ porque de otra forma tendriamos $\mathbb{Z}_{16}\cong G/im(f)\cong \mathbb{Z}_2\oplus H$ con $H$ otro grupo abeliano, pero esto no es posible. Por lo tanto $f(1)=(a,1,1)$. Como $f(1)$ debe tener orden $4$, vemos que $f(1)=(4k,1,1)$ con $k$ impar.

Por otra parte $g(0,0,1)$ y $g(0,1,0)$ no estan en el kernel de $g$ y tienen orden dos, por eso $g(x,y,z)=mx+8y+8z$. Como $(4k,1,1)$ esta en el kernel de $g$ tenemos que $4km = 0 \mod 16$. Por lo tanto $m$ es par. Pero entonces $g$ no puede ser sobreyectiva. Contradiccion

Comments

ups, lo escribi muy rapido. Hasta la conclusion de que al menos un $q_i$ es multiplo de 4 estaba bien, pero despues me falto ver bien los diferentes casos.

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Despues de todo no era solo 1 caso.