Sin tablas de Cayley para los órdenes $1, 2, 3$ y $4$:
Si $G$ tiene orden $1$ entonces $G$ es abeliano.
Si $G$ tiene orden $2$ y sus elementos son $e$ (el elemento neutro) y $a$ entonces $a^{2}$ tiene que ser igual a $e$ (pues $a^{2}=a$ implica que $a=e$). Así, cada elemento de $G$ es igual a su propio inverso y en consecuencia $G$ es abeliano (establecer que la condición en itálicas es suficiente para tener conmutatividad es otro ejercicio sencillo del "Álgebra Moderna (Ed. Trillas, 1976)": específicamente, es el ejercicio 10, pág. 44.
Si $G$ tiene orden $3$ y sus elementos son $e, a$ y $b$ entonces $ab=e$. En efecto, pues $ab=a$ implica $b=e$ (contradicción) y $ab=b$ implica $a=e$ (contradicción también). Análogamente se establece que $ba=e$. Así, cada elemento de $G$ conmuta con cada uno de los otros elementos del grupo y el análisis de este caso termina.
Si $G$ tiene orden $4$ utilizamos la siguiente variante del ejercicio 11, pág. 44. op. cit.: si $|G|$ es un número par entonces el número de soluciones a la ecuación $x^{2}=e$ es un número par positivo. Cuando $|G|=4$ esto quiere decir que o todos los elementos de $G \setminus \{e\}$ tienen orden $2$ o que en $G$ hay exactamente un elemento de orden $2$. En el primer caso la conclusión se obtiene apelando nuevamente al ejercicio 10 en la página 44. En el otro caso, $G$ tiene exactamente un elemento de orden $1$ (el neutro del grupo), exactamente un elemento $a$ de orden $2$ y (al menos) un elemento $b$ de orden mayor que $2$. Así, $G=\{e,a,b,ab\}$. Ahora bien, como $b^{2}$ es un elemento de $G$ entonces $b^{2}=e$ o $b^{2} = b$ o $b^{2}=ab$ o $b^{2}=a$. El primer caso se descarta pues dijimos que $b$ tiene orden mayor que $2$. El segundo caso se descarta pues implica $b=e$. El tercer caso se descarta pues implica $b=a$. Por consiguiente, $b^{2}=a$ y $G=\{e,b,b^{2}, b^{3}\}$. Establecer la conmutatividad de $G$ es harto sencillo ahora (y nótese que para hacerlo no es necesario contar con la definición de grupos cíclicos).
