Elemento de orden dos en SL_2

Question

¿Quienes son los elementos de orden dos de $SL_2(\mathbb{F}_q)$?

Answer 1

Sea $A\in SL_2(\mathbb{F}_q)$ tal que $A^2=Id$. Si $A$ es diagonalizable, entonces es conjugada a $Id$ o $-Id$.

Si no es diagonalizable, entonces consideramos su forma racional de Jordan, esta consiste solo de un bloque $B$ de tamano 2. Como $B^2=Id$, vemos que

$B=\left(\begin{matrix} 0&1\\ 1&0 \end{matrix}\right)$

y $\det B=-1$.

Concluimos que todos los elementos de orden dos son conjugados a $Id$ o $-Id$.