Producto de dos subgrupos

Question

Sea $G$ un grupo, $H,K<G$ con  ([G:H], [G:K])=1 (Los indices finitos).

Demuestre que $G=HK$

Answer 1

Sea $L=H\cap K$ entonces $a=[H:L]\leq [G:K]=m$ y $b=[K:L]\leq [G:H]=n$.

Por otra parte $na=[G:H][H:L]=[G:L]=[G:K][K:L]=mb$ como $(m,n)=1$ se sigue que $n|b$ y $m|a$.

De estas dos observaciones concluimos que $n=b$ y $m=a$.

Sean $h_1,\dots h_a\in H$ tales que $H=h_1L\cup\dots\cup h_a L$ (union disjunta), entonces

$h_1K\cup\dots\cup h_a K \subset G$ (union disjunta) y como $[G:K]=m=a$ vemos que

$h_1K\cup\dots\cup h_a K  = G$, en particular $G=HK$.

Comments

Correcto, Carlos.