Un grupo es finito si y solo si tiene un número finito de subgrupos

Question

Hola buenas noches, tengo el siguiente problema y no sé cómo atacarlo. El enunciado dice lo siguiente:

Un grupo es finito si y sólo si tiene un número finito de subgrupos.

Les agradezco de antemano la ayuda

Answer 1

Para la implicación interesante:

Sea $G$  un grupo que tiene un número finito de subgrupos. Supongamos que $G$ no es finito. Del supuesto anterior y de la hipótesis dada sobre $G$ se desprende que todos los elementos de $G$ tienen orden finito. Se cumple además que, para cada $n \in \mathbb{N}$, sólo hay un número finito de elementos de $G$ de orden $n$. De esto último y del supuesto que se está haciendo sobre el cardinal de $G$ se sigue que el conjunto de números naturales que son órdenes de elementos de $G$ es infinito (pues en otro caso $G$ se podría expresar como una unión finita de conjuntos finitos).  Lo anterior entra en contradicción con el dato sobre el número de subgrupos de $G$ y la prueba termina.

Comments

hola, los subgrupos no pueden ser infinitos, entonces los ordenes de los elementos no serian finito

Answer 2

Cada elemento genera un subgrupo cíclico. Si el grupo es infinito y solo tiene un número finito de subgrupos, una infinidad de elementos generan el mismo subgrupo. Esto es imposible pues un grupo cíclico (sea finito o no) solo tiene un número finito de generadores.