Demostrar que el siguiente espacio es metrico.

Question

Definimos $d: R^2 --> R$ como $d[(a_1, b_1), (a_2, b_2)] = máx \{ |a_1 - a_2|, |b_1 - b_2| \}$ ¿Será $d$ una métrica en $R^2$? Gracias de antemano.

Answer 1

Propiedad $1.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})>0$ si $\mathbf{x\neq y}$ y $d(\mathbf{x},\mathbf{x})=0.$

Sean $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ y $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ elementos distintos de $\mathbb R^2.$ Luego se tiene que,o bien $x_1\neq y_1,$ o bien $x_2\neq y_2$ (o ambos), por lo que $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}>0$ pues $||$ es una métrica en $\mathbb R.$ Además, si $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ es un elemento arbitrario de $\mathbb R^2$ entonces $d(\mathbf{x},\mathbf{x})=\max\{|x_1-x_1|,|x_2-x_2|\}=\max\{0,0\}=0.$ 

Propiedad $2.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=d(\mathbf{y},\mathbf{x}).$

Esta propiedad es clara pues $||$ es una métrica en $\mathbb R$ (y por lo tanto es conmutativa).  

Propiedad $3.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})\leq d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y}).$

Sean $\mathbf{x}=(x_1,x_2),\mathbf{y}=(y_1,y_2),\mathbf{z}=(z_1,z_2)\in\mathbb R^2.$ Luego 
$$
\begin{aligned}
d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})&=\max\{|x_1-z_1|,|x_2-z_2|\}+\max\{|z_1-y_1|,|z_2-y_2|\}\\ \\&\geq|x_1-z_1|+|z_1-y_1|\\ \\&\geq|x_1-y_1|\hspace{23pt}\text{(pues $||$ es una métrica en $\mathbb R$)}
\end{aligned}
$$ y de forma análoga se obtiene que $d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\geq|x_2-y_2|,$ que implica que $d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\geq\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}=d(\mathbf{x},\mathbf{y}).$

Por lo tanto $d$ es una métrica en $\mathbb R^2.$