Question

Tengo un espacio normado X de dimension finita sobre el campo K, como demostrar que es de Banach?

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¿Sobre cualquier campo?

Answer 1

No lo puedes demostrar, porque necesitas que $K$ sea completo. Como contraejemplo, puedes tomar cualquier vector $v\neq0$ en un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, y considera la sucesión $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}v$. Esta sucesión es de Cauchy, pero no es convergente, ya que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\to\frac{\pi^2}{6}$, pero $\frac{\pi^2}{6}v$ no está en el espacio vectorial.

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Hola, Yarza; no será la sucesión de sumas parciales de $\displaystyle \{\frac{1}{n^2}\}$, la que converge a $\displaystyle \frac{\pi^2}{6}$.

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Cierto, muchas gracias. Ya edité la respuesta.