Necesito demostrar un teorema sobre el espacio columna de una matriz ampliada

Question

"Si una matriz A ampliada es la unión de una matriz de coeficientes con su termino independiente, entonces el espacio generado por las columnas de A está contenido o es igual al espacio generado por las columnas de A ampliada"

Si A* = [A H] entonces Eca =C Eca*

Trato de hacerlo pero no me sale y la consulta antes al parcial fue pospuesta y temo que vayan a tomar algo asi, desde ya gracias por el foro y espero que me puedan responder

Answer 1

Hola:

Espero estar entendiendo bien lo que estás diciendo, creo no es muy claro como lo escribes. Supón que las columnas que forman los coeficientes son $c_1, ..., c_n$ y la columna de los términos independientes es $h$. El espacio formado por las columnas consiste de todas las combinaciones lineales 

$\lambda_1 c_1 + ... + \lambda_nc_n$,

donde $\lambda_1,...,\lambda_n$ son elementos del campo de coeficientes sobre el que está la matriz. Así mismo, el espacio formado por las columnas de la matriz aumentada son todas las combinaciones lineales de la forma

$\lambda_1 c_1 + ... + \lambda_nc_n + \lambda h$,

de donde se sigue que el primero está en el segundo, pues cualquier combinación de las primeras es una combinación de las columnas aumentadas ya que basta hacer $\lambda = 0$ (o sea, no utilizar la columna de independientes).

Van a ser iguales los espacios sólo cuando $h$ mismo sea generado por las columnas, que es el caso en que el sistema lineal que representan tiene solución (la solución son justamente los valores $\lambda_1,...,\lambda_n$ necesarios para generar $h$).

Yo conozco este resultado como el Teorema de Kronecker-Capelli, una exposición padre de este y otros temas relacionados está en el libro "Lineal Algebra" de Georgi Shilov de la editorial Dover.