Hola:
Espero responder tu pregunta medio decentemente, este es un tema de esos de nunca acabar...Al menos espero darte una idea.
Si $\nabla$ es la conexión de Levi Civita, definida en $TM$, entonces puede extenderse a todos los productos tensoriales de manera que satisfaga la regla de Liebniz (básicamente eso es lo que más te importa lograr), pero también quieres que se comporte bien con las contracciones, esto es, con obtener traza de transformaciones. Lo que deseas con las contracciones es que conmuten con $\nabla$.
En particular, si $\omega$ es una $1$ forma y $X$ es un vector sabemos que
$Tr(\omega\otimes X) =\omega(X)$,
así que, suponiendo ya sabemos que es $\nabla$ en formas tienes lo siguiente:
$\nabla_Y(\omega(X)) = \nabla_Y(tr(\omega\otimes X))$
$= tr(\nabla_Y(\omega\times X))$
$= tr(\nabla_Y(\omega)\otimes X) + tr(\omega\otimes \nabla_YX)$
$ = (\nabla_Y\omega)(X) + \omega(\nabla_Y X).$
Todo lo anterior presupone que sabes como definir la conexión en formas, pero por otra parte, de saber hacerlo forzosamente necesitas tener la igualdad anterior, así que campechanamente se define
$(\nabla_Y\omega)X = \nabla_Y(\omega(X)) - \omega(\nabla_YX)$.
Lo anterior en efecto define un tensor porque estamos dando su acción en campos vectoriales y obteniendo funciones suaves. Así que, dada una $1$ forma $\omega$ puedes definir su tensor como un $2$ tensor dado por
$\nabla(\omega)(X, Y) := (\nabla_X\omega)(Y)$.
Para $k$-formas, con $k>1$ el juego es exactamente el mismo, se observa lo que debería cumplirse en caso de tener la definición. Se resume en el mismo juego: ver que la conexión conmuta con las contracciones, así que puedes despejar el valor que tú deseas en términos de valores que sí conoces y obtienes la siguiente fórmula, que es la definición: Dado una $k$- forma diferencial $\omega$ define el $(k + 1)$-tensor$ como
$\nabla\omega(X, Y_1,..., Y_k) := \nabla_X(\omega(Y_1,..., Y_k)) - \displaystyle\sum_{j = 1}^k \omega(Y_1,..., \nabla_XY_j,..., Y_k)$.
Nuevamente esto es un $k + 1$ tensor porque defines su acción en campos vectoriales y obtienes funciones suaves.
Lo que es importante recalcar ahora es que, a pesar de poder definir la acción de $\nabla$ en formas diferenciales, puede ser que este resultado no te de una forma diferencial. Básicamente porque puedes destruir la alternancia del tensor. Por poner un ejemplo, solo haz la cuenta en el caso $\omega = dx$ y X = \partial_x$. En esta situación tienes que
$\nabla(dx)(\partial_x, \partial_x) = \partial_x(dx(\partial_x)) - dx(\nabla_{\partial_x}\partial_x) = - dx(\nabla_{\partial_x}\partial_x)$,
y esta última expresión es precisamente el coeficiente de Christoffel $\Gamma_{x, x}^x$, que no tiene que ser cero en conexiones generales de Levi Civita. Por ende, $\nabla(dx)$ no es alternante.
La manera de arreglar esto es, literalmente, a la brava: como no obtienes algo alternante, le aplicas el operador alternante $Alt$, para "ver" que tan lejos estuviste de algo alernante y resulta que no estuvo tan mal pues se tiene que
$Alt(\nabla(\omega)) = \dfrac{d\omega}{k + 1}$,
o sea, que te acercaste a la derivada exterior, que es la manera "canónica" de asignar a una forma alternante otra de grado mayor.
Lugares donde puedes ver estas construcciones son:
- Manifodls and differential geometry de Jeffrey Lee,
- Riemannian Geometry, and introduction to curvature de John M. Lee
- Fundations of differential geometry de Kobayashi, Nomizu.
