Interesante propiedad sobre un número primo cualquiera y los números naturales menores que él.

Question

Dado cualquier número primo $p$, para cada $n\ \in\ \mathbb{N}$, con $0<n<p$, se tiene que el coeficiente binomial $\binom{p}{n}$ es divisible entre $p$. Demostrarlo.

A por él.

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La aplicación de esta interesante propiedad es fundamental para una demostración muy elemental que existe del Pequeño Teorema de Fermat, la publicada por primera vez, pero desarrollada individualmente, por Euler (1736), en un artículo titulado $Theorematum\ Quorundam\ ad\ Numeros\ Primos\ Spectantium\ Demonstratio$, pero desarrollada por primera vez por Leibniz (1683). Este último, nunca la llegó a publicar.

Más información en el artículo de Wikipedia sobre el Pequeño Teorema de Fermat:

https://es.wikipedia.org/wiki/Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat

Answer 1

Sea $p$ un número primo y $n$ un número natural que pertenece al intervalo $(0,p)$. Puesto que

$$ \binom{p}{n} = \frac{p}{n} \binom{p-1}{n-1} ,$$

se sigue que $p \mid n \binom{p}{n}$. De esto último y del hecho de que $p$ y $n$ son coprimos se desprende que $p \mid \binom{p}{n}$ y la demostración termina.

Answer 2

Sencilla y (por tanto) elegante demostración, José Hdz. Pero, una manera alternativa, y muy sencilla también, que es la idea que yo tuve, es la siguiente, donde así como tú, también uso el llamado "Lema de Euclides" :

Tenemos que $\binom{p}{n}=\frac{p(p-1)!}{(p-n)!n!}$. Claramente, el producto $p(p-1)!$ es divisible entre $(p-n)!n!$, pues $\frac{p(p-1)!}{(p-n)!n!}$ es un entero positivo. Pero $p$ y $(p-n)!n!$ son coprimos, porque ni $(p-n)!$ ni $n!$ contienen a $p$ como factor, pues todos los factores de $(p-n)!$ y de $n!$ son menores que $p$, por lo cual, ni $(p-n)!n!$ contiene a $p$ como factor. Pero, siendo coprimos, $p$ podría ser divisible entre $(p-n)!n!$, si y sólo si $(p-n)!n!=p$, o bien, $(p-n)!n!=1$. Pero ya que $(p-n)!n!$ no contiene a $p$ como factor, $(p-n)!n! \neq p$ °. Entonces, en este caso, $p$ es divisible entre $(p-n)!n!$ si y sólo si $(p-n)!n!=1$ *. Notamos que, si $(p-n)!n!=1$, $p$ y $(p-n)!n!$ son coprimos. De hecho, el único caso en que un número entero $a$ es coprimo con otro entero $c$ y $a$ es divisible entre $c$, es cuando $c$ es igual a $1$.

Así que entonces, como $p$ y $(p-n)!n!$ son coprimos, necesariamente, el otro factor del numerador, es decir, $(p-1)!$, es divisible entre $(p-n)!n!$  ("Lema de Euclides"). Por tanto, tenemos que $\binom{p}{n}=p\ \cdot\ \frac{(p-1)!}{(p-n)!n!}=p\ \cdot\ k$, donde $k$ es el entero positivo $\frac{(p-1)!}{(p-n)!n!}$ .

Comments

* El único caso en que $p$ es divisible entre $(p-n)!n!$ es el caso en que $(p-n)!n!=1$, donde, necesariamente, $(p-n)!=1$ y $n!=1$, lo cual, en este caso, ocurre si y sólo si $n=1$, y, además, $p=2$. Es el caso en que todo el denominador es $1$. Claro, pues todo número entero positivo es divisible entre $1$. Así, $\frac{p}{(p-n)!n!}=p$ y $\binom{p}{n}=p(p-1)! \Rightarrow \binom{2}{1}=2(2-1)!$, siempre divisible entre $p=2$. Pero, $p$ y $(p-n)!n!$ siempre son coprimos. Aquí, $2$ y $1$ son coprimos. No podemos decir que porque son coprimos, $p=2$ no es divisible entre $(p-n)!n!=1$, porque sí lo es.

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° Al descomponer todos los factores de $(p-n)!$ y de $n!$ en factores primos, nunca queda $p$ como uno de esos factores, por lo cual jamás $(p-n)!n!$ contiene a $p$ como factor, ni siquiera una sola vez, y, por eso, no puede ser $(p-n)!n!=p$. De hecho, el producto de varios factores, aunque sólo 1 vez contenga a un número menor que él, no es exactamente igual a este número, pues hay otros factores. Además, podemos notar fácilmente que $(p-n)!n!$ es un número primo si y sólo si uno de los factoriales es igual a $1!=1$ y el otro factorial es igual a $2!$, porque el único factorial que es primo es $2!=2$, lo cual aquí ocurre sólo para $p=3$ y $n=2$ o $p=3$ y $n=1$. Sólo así es que $(p-n)!n!$ es primo, pero aún así es distinto de $p=3$, pues es igual a $2$. Por tanto, siempre se tiene $(p-n)!n! \neq p$.