Si a es un ordinal finito y w es el ordinal de los naturales, ¿como puedo mostrar que a*w=w?

Question

* es el producto de números ordinales.

Answer 1

Recuerda que, por definición, $a\cdot\omega=\sup_{n<\omega}a\cdot n$, y que la multiplicación ordinal, cuando se restringe a los números finitos, no es otra cosa que la multiplicación usual. Por lo tanto, si $a=0$ entonces $a\cdot\omega=0$. Ahora que, si $a\neq0$, entonces $a\cdot n$ es finito (i.e. $<\omega$) para todo $n$, por lo cual $a\cdot\omega\leq\omega$, y recíprocamente dado cualquier ordinal finito $N$ es posible encontrar $n<\omega$ tal que $a\cdot n>N$. Esto significa que $a\cdot\omega\geq\sup_{n<\omega}n=\omega$, por lo tanto $a\cdot\omega=\omega$.

Comments

De una manera mucho más intuitiva, $a\cdot\omega$ es una sucesión de $\omega$ copias de $a$, si haces el dibujito verás que te sale igual a $\omega$. Obviamente un dibujito no es una demostración formal, pero es sorprendentemente útil para agarrar intuición, y por lo general no falla (es decir, te da siempre el resultado correcto).

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Gracias por la ayuda, pero necesito demostrar la proposición por medio de la creación de una función.

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¿Te refieres a un isomorfismo (de orden) entre el producto lexicográfico de $\omega$ copias de $a$ y $\omega$? Si es así, entonces simplemente considera la función $f:a\times\omega\longrightarrow\omega$ dada por $f(i,m)=am+i$. No es difícil checar que esta función es el isomorfismo buscado (aquí tomamos $a\times\omega$ con el orden lexicográfico "derecho": $(i,m)<(j,n)$ si y sólo si $m<n$ o $m=n$ y $i<j$). Esto es esencialmente poner en símbolos el dibujito del que hablé antes.

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Una pregunta con respecto a esa función. Si usamos f(1,1) (El primer 1, en {1,2,...,a}, y el segundo en los naturales), el resultado es a+1...no sería mejor la función dada por $f(i,m)=a(m-1)+i$? Para que inicie desde 1?

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Cuando se trata de ordinales, por lo general cuento desde cero: mi dominio sería $\{0,1,\ldots,a-1\}\times\{0,1,\ldots\}$, y de esta manera los valores de la función también inician desde cero: $f(0,0)=0$, $f(1,0)=1$, etc.

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Ciertamente. Haberlo trabajado así nos habría ahorrado mucho trabajo.