Acertijo matemático para pensar

Question

Hola. Quiero resolver el siguiente problema, pero no sé cómo. Quizá puedan ayudarme. No sé cómo resolverlo porque no sé cómo sacar más información de él que la que da, parece muy general y no sé cómo llegar a la solución correcta. Por si piensan que sé cuál es la solución correcta, pues no, no la sé, porque en el artículo en donde aparece el problema no se menciona la solución.

Juan y Pedro se encuentran luego de mucho tiempo, y conversan por un tiempo agradablemente: — Hola Pedro, ¿cómo has estado? Me di cuenta de que tienes tres hijos. Me gustaría saber cuáles son sus edades. — Sí es cierto, de hecho el producto de sus edades es tu edad. — Pero, con eso no es suficiente para saber sus edades. Dime más información. — Tienes razón, además la suma de sus edades es igual al número de ventanas de ese edificio. — ¡Pero Pedro!, todavía no es suficiente, no logro saber sus edades. — Mmm... el mediano está en clases de natación. — Ah!, ya sé cuales son sus edades.

Determine las edades de los hijos de Pedro. Explique el porqué de su respuesta.

Comments

Es un acertijo clásico. Yo me lo sabía con otros datos. Tienes que considerar que ellos están pensando en edades enteras. A continuación voy a spoilerear qué significa la pista final. Listo?

SPOILER
LA pista final dice que hay uno de en medio, es decir que los 3 tienen edades diferentes. Antes de saber eso, la solución no era única por la posibilidad de mellizos.

Otro hint. Tienes que usar teorema fundamental de la aritmética.

Answer 1

Te diré cómo lo resolví yo, pero no estoy seguro de si no existen más soluciones. La mía podría pensarse como al menos la mínima posible.

Primero, unas cuantas conclusiones:

1. La edad de Juan no es un número primo, ya que la única forma de expresarlo como producto de tres números sería $p=p\cdot1\cdot1$, y Juan sabría inmediatamente las edades de los hijos de Pedro.
2. La edad de Juan se debe de poder expresar de distintas maneras como el producto de tres números enteros, porque si no, Juan sabría inmediatamente las edades de los hijos de Pedro.
3. El número de ventanas del edificio debe poder expresarse al menos como dos sumas distintas de tres números cuyo producto es la edad de Juan, porque si no, Juan podría simplemente listar todas las combinaciones de tres números cuyo producto da su edad, y ver cuál de las combinaciones suma la cantidad de ventanas en el edificio.
4. Por último, tomando en cuenta la sugerencia de Elías, se necesita que haya números repetidos en algunas de esas tercias de números, así que la edad de Juan debe de ser múltiplo de un cuadrado.

Así que empecemos. No sé muy bien desde qué edad podríamos empezar pensando en la edad de Juan, pero pensé en que seguramente es adulto, así que aquí van las posibles edades de Juan:

$18=9\cdot2\cdot1=6\cdot3\cdot1$, y las dos tercias suman un número distinto.

$20=10\cdot2\cdot1=5\cdot4\cdot1=5\cdot2\cdot2$, y ningún par de tercias suma la misma cantidad.

$24=12\cdot2\cdot1=8\cdot3\cdot1=6\cdot4\cdot1=6\cdot2\cdot2=4\cdot3\cdot2$, y ningún par de tercias suma la misma cantidad.

$25=5\cdot5\cdot1$, se desecha porque sólo tiene una tercia.

$28=14\cdot2\cdot1=7\cdot4\cdot1=7\cdot2\cdot2$, y ningún par de tercias suma la misma cantidad.

$32=16\cdot2\cdot1=8\cdot4\cdot1=8\cdot2\cdot2=4\cdot4\cdot2$, y ningún par de tercias suma la misma cantidad.

$36=18\cdot2\cdot1=12\cdot3\cdot1=9\cdot4\cdot1=9\cdot2\cdot2=6\cdot6\cdot1=6\cdot3\cdot2=4\cdot3\cdot3$, en donde vemos que las tercias 9, 2, 2 y 6, 6, 1 suman ambas 13, pero como ahí no hay niño mediano, también desechamos esta opción.

$40=20\cdot2\cdot1=10\cdot4\cdot1=10\cdot2\cdot2=8\cdot5\cdot1=5\cdot4\cdot2$, en donde notamos que las tercias 10, 2, 2 y 8, 5, 1 suman ambas 14, y como la segunda de estas sí tiene un niño mediano, esta debe de ser la solución.

Así que la edad de Juan es 40, el número de ventanas en el edificio es 14, y las edades de los hijos de Pedro deben ser 8, 5 y 1.

Como decía, habría que pensar si no habrá otras posibles soluciones al acertijo.

Comments

Sí, es una interesante opinión. Pero no entiendo su conclusión número 4: ¿Por qué debe haber números repetidos en algunas de las tercias? Además: para que eso se cumpla, ¿Por qué para ello la edad de Juan debe ser múltiplo de un cuadrado? Disculpen, pero es que no he logrado entender eso.

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La última pista nos dice que las tres edades deben ser distintas. Como no es hasta que oye la última pista que Juan descubre las edades, debe de ser el caso en el que Juan tiene una tercia candidata con tres edades distintas y una o más con al menos dos edades repetidas. Pero si este es el caso, quiere decir que la edad de Juan se puede ver como un número por sí mismo por otro más, es decir, es el múltiplo de un cuadrado.