como se resuelve esto por la suma de riemann?

Question

ocupo ayuda, ya intente de todo, y no puedo llegar al resultado, tengo que conseguir el area bajo la curva de la funcion f(x)=2/x^2 en el intervalo de [2,4] por las sumas de Riemann

Answer 1

Todo se reduce a calcular la integral $\int_2^4x^{-2}dx;$ para ello, tomemos una partición $P=\{x_1,\ldots,x_n\}$ tal que $x_i=rx_{i-1},$ donde $r>1$ es una constante. Se sigue que $x_i=r^{i-2}x_1=2r^{i-2}$ y que $r=2^{1/(n-1)}.$ Luego, utilizando el hecho que la función $x^{-2}$ es decreciente y contínua en el intervalo $[2,4]$ (y por lo tanto, en cada intervalo cerrado $I\subseteq[2,4],$ la función $x^{-2}$ atiene su supremo y su ínfimo, i.e., existen $u,v\in[2,4]$ tales que $u^{-2}=\sup I$ y $v^{-2}=\inf I$), se obtiene que las suma superior $U$ y la suma inferior $L$ son (te dejaré los cálculos a tí): $$U=\dfrac{r}{4}\hspace{16pt}\text{y}\hspace{16pt}L=\dfrac{1}{4r}.$$ El resultado se sigue del hecho que $\lim_{n\to\infty}r=\lim_{n\to\infty}2^{1/(n-1)}=1.$