desigualdad que involucra una integral

Question

Hola, ando un poco confundido sobre como demostrar lo siguiente:

para todo $t>1$ se tiene que:

$$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{t})\leq \int_{1}^{t}\frac{1}{1+x^2}\leq 1-\frac{1}{t}$$

hint: si $x\geq 1$ entonces $x\leq 1+x\leq 2x$
La cuestión es que no puedo integrar mediante alguna técnica.

Apreciaria mucho cualquier sugerencia

Answer 1

Para $x \geq 1$ tienes dos desigualdades:

• $\frac{1}{2x^2} \leq \frac{1}{1+x^2} \leq \frac{1}{x^2}$.

 Como $\int_1^t \frac{1}{x^2} = 1-\frac1{t}$. Tienes ambas desigualdades.