Cómo calcular la siguiente Integral

Question

Hola, tengo un problema con este bicho, no quiero que me den simplemente el resultado (eso ya lo conozco), sino saber si alguien de ustedes puede evaluar la integral, y en su caso, describir el método/sustituciones que realizaron. Tengo en mente dos posibilidades, la Integral realmente es complicada o bien había una forma más sencilla u oculta que no ví/conozco, tal vez todo es cuestión de algunos 'trucos', bueno aquí está, les agradeceré bastante si pueden ayudarme 

 

1. $$ \int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}} $$

Comments

Ya lo resolví, aunque gracias si lo intentaron

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seria bueno si nos compartieras la respuesta :)

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Yo concuerdo con robin: si tienes la respuesta, por favor compártela (así le puede servir a cualquiera que pase por aquí con la misma pregunta).

Answer 1

Era muy fácil, tal vez simplemente no tan evidente.

 

$\textrm{Calcular la siguiente integral:}$

$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}.$$

$\textit{Demostración}.$Inicialmente se realiza la sustitución $x=\sin \varphi$, por lo cual se tiene que:
$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}= \int \frac{\cos \varphi}{(1+\sin^2 \varphi)\sqrt{1-\sin^2 \varphi}}\, d\varphi=\int \frac{d\varphi}{1+\sin^2{\varphi}},$$
de ahí se fija que $w=\tan \varphi$, por lo cual $d\varphi=\frac{dw}{1+w^2} \,\, \& \,\, \sin \varphi = \frac{w}{\sqrt{1+w^2}}$, con ello se obtiene:
$$    I=\int \frac{dw}{(1+w^2)(1+ \frac{w^2}{1+w^2} )}=\int \frac{dw}{1+2w^2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\left(\sqrt{2}w \right)}\, .$$
Realizando los ajustes requeridos es fácil notar que $ w=\tan \varphi = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ; $\, \,$ por lo tanto es claro que
$$I=\int \frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan{\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^2}}\right)} \, . \blacksquare$$