Calcula el valor de la integral impropia.

Question

Answer 1

Hay varias maneras de proceder aquí... Uno de las maneras más simples es expresando $I^{2}$ como una integral doble y haciendo después un cambio a coordenadas polares. Veamos:

$\displaystyle I^{2} = \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\, dx \int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}}\, dy = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\, dx dy.$

La integral doble es sobre el primer cuadrante. En coordenadas polares este cuadrante se describe como $\{(r, \theta): r \geq 0, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}$; además $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ y el diferencial de área $dxdy$ queda como $r\, dr d\theta$. Por lo tanto,

 $\displaystyle I^{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}r\, dr d\theta = \left. -\frac{1}{2}e^{-r^{2}} \right \vert_{0}^{\infty} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

 y en conclusión,

$\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Comentarios adicionales.  -- En el libro de Apostol de Análisis Matemático hay un ejercicio donde se obtiene esta integral procediento del siguiente modo: I) se muestra que las funciones

$\displaystyle f(x)= \left(\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt \right)^{2}$

y

$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{1} \frac{e^{-x^{2}(t^{2}+1)}}{t^{2}+1}\, dt$

son tales que para cada $x\in \mathbb{R}$

$f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=0$

y 

$f(x)+g(x)=\frac{\pi}{4}.$

II) Utilizando lo establecido en el inciso I), se muestra entonces que

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

-- De acuerdo con la leyenda, Lord Kelvin dijo alguna vez que un matemático es todo individuo para quien el hecho que $I = \sqrt{\pi}/2$ es tan obvio como que dos y dos son cuatro... ¿Qué opináis de esto?

Comments

( Dado que: el integrando de 'I' es positivo, y que "∞>0":  I² = π/4 ➜ I = √π/2 )

¡Muy bien, José! Gracias por el compartir.

---

Pues, sobre lo expresado por Lord Kelvin: Sí, un matemático de los últimos siglos no debe dudar de dicho valor. Ahora, qué "tan obvio" le parece, si más o menos obvio que "2+2 =4"..es discutible, jejeje.

Answer 2

* Con la función 'gamma':

     

Para la integral de la pregunta (I), haciendo un "cambio" (x⇒x²) en la definición de la función Γ, y con el valor para su parámetro α = ½, se tiene casi exactamente la expresión que buscamos: 2⋅I = Γ(½).

 

** Ahora, con la función 'beta':

 

 

Usando la conocida relación entre las funciones 'gamma' y 'beta', enunciada así:

 

Γ(p)⋅Γ(q)

_______ = β(p,q)

 

Γ(p+q)

 

, con p=½, q=½, y teniendo en cuenta que β(½,½) = π,  Γ(1) = 1, y que siempre Γ(x) >0, se obtiene:

 

Γ(½)⋅Γ(½) = π ↔ Γ(½) = √π, lo que finalmente, nos lleva a: 2⋅I = Γ(½) = √π ↔ I = √π / 2 .