Para cierto valor de c, la siguiente integral converge. Hallar c. [cerrada]

Question

Tenía una duda, acerca del método que podría usar, para hallar el valor de c para el que la siguiente integral impropia converge.

Y bueno, no tengo problemas para hallar esa integral (De hecho a diferencia de otras esa parte no da problemas, es hallable la antiderivada). El problema está en hallar un valor de c para el que el siguiente límite exista.

Y claro, preferiría que no fuera necesario usar definición de límite.

¿Alguna idea?

Answer 1

Como el intervalo de integración es $(2,\infty)$, puedes eliminar las barras de valor absoluto. Luego, el problema se reduce a determinar una $c$ tal que

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \ln \frac{(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}}{(2t+1)^{\frac{1}{2}}}$

exista. La opción natural sería un $c$ tal que $(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}$ y $(2t+1)^{\frac{1}{2}}$ tengan el mismo orden de magnitud. La opción $c=\frac{1}{2}$ se sugiere así misma a partir de este punto, ¿qué no? Piensa por ejemplo que cuando $t$ es muy grande, $(t^{2}+1)^{\frac{c}{2}}$ es básicamente $t^{c}$ y $(2t+1)^{\frac{1}{2}}$ es básicamente $\sqrt{2}t^{\frac{1}{2}}.$

Comments

Sí, así sale. Sí miré tanto lo del cociente por homomorfismo, como lo del valor absoluto, pero no llegaba. Gracias.