La cerradura en $C^0(S^2,S^2)$ del grupo de homeomorfismos de la esfera $S^2$

Question

Sea $C^0(S^2,S^2)$ el conjunto de funciones continuas $f:S^2 \to S^2$  de la 2-esfera
$S^2\subset{\mathbb R}^3$ en ella misma con la distancia
$d(f,g)=\sup_{x\in{S^2}}|f(x)-g(x)|$.

Sea $H(S^2)\subset{C^0(S^2,S^2)}$ el grupo de homeomorfismos de la 2-esfera.

1) Demuestre que la cerradura $\overline{H}$ de $H$ en $C^0(S^2,S^2)$ consiste de las funciones monótonas, i.e. las funciones $f$ tales que $f^{-1}(\{x\})$ es conexo para toda $x\in{S^2}$.

2) $\overline{H}$ consiste de las funciones $f:S^2 \to S^2$ tales que se pueden extender a funciones continuas $\tilde{f}:D^3\to{D^3}$, donde $D^3$ es el disco
unitario de ${\mathbb R}^3$ ($\partial{D^3}=S^2$) tal que la restricción de $\tilde{f}$ al interior del disco $D^3$ es un homeomorfismo.

3) Demuestre un teorema análogo para el círculo $S^1\subset{\mathbb R}^2$ y compárelo con el problema anterior que propuse.

Si se rinden consulten:

A characterization theorem for cellular maps William Haver Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC , vol. 76, no. 1970, pp. 1277-1280, 1970