Álgebra lineal sin axioma de elección

Question

¿Se puede demostrar la siguiente afirmación sin usar el axioma de elección?

Sea $V$ un espacio vectorial y $v \in V$, $v\neq 0$. Existe $f \in V^*$ tal que $f(v) \neq 0$.

Answer 1

No, no es posible. Existen modelos de ZF en los que hay un espacio vectorial de dimensión infinita tal que todos sus subespacios propios son de dimensión finita, y por lo tanto su espacio dual es 0. Incluso hay modelos de ZF en los que los reales, considerados como espacio vectorial sobre los racionales, tienen dual 0. Esto lo aprendí en la siguiente pregunta de MathOverflow:
http://mathoverflow.net/questions/49388/is-the-non-triviality-of-the-algebraic-dual-of-an-infinite-dimensional-vector-sp