Operaciones no asociativas

Question

¿Se sabe cuántas operaciones conmutativas, con neutro e inversos (no necesariamente asociativas) admite un conjunto con p elementos (p primo), salvo isomorfismos? ¿Se sabe para conjuntos con pq elementos con p y q primos distintos?

Answer 1

Empieza con un conjunto $M$ de $n$ elementos. Si le impones una operación binaria $\sigma:M \times M \longrightarrow M$, tienes un (una?) magma. A partir de aquí empieza la diversión porque a $\sigma$ se le pueden imponer condiciones extra para obtener diversas estructuras algebraicas.

Pidamos por ejemplo que $\sigma$ tenga división; es decir, que dados $a,b \in M$ siempre exista $x$ tal que $ax=b$. Entonces a $M$ se le llama quasigrupo. Si impones la condición extra de que $\sigma$ tenga identidad, entonces $M$ es un loop (no se si se traduce como lazo).

Ahora visita la secuencia 89925 de la OEIS donde listan el número de loops conmutativos con $n$ elementos. Creo que esta es la informacion que quieres, a menos que existan operaciones como las que pides, que tengan inverso pero no necesariamente división.

Comments

La inmensa mayoría de las operaciones conmutativas con neutro e inverso no tienen división. Por ejemplo, toma $e \in M$, define $x^2=e$ y  $ex=xe=e$ para toda $x \in M$. Ya con eso hay neturo e inversos, pero hay todavía $\binom{n-1}{2}$ productos (donde $n=|M|$) que puedes elegir arbitrariamente, dando $n^{\binom{n-1}{2}}$ operaciones del tipo que digo. Para la inmensa mayoría de las opciones, las operaciones $x \mapsto ax$ no son biyecciones.