Torillo primitivo :)

Question

Halla los valores de 'X' e 'Y', en la sucesión siguiente:

X, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, Y, ...

Answer 1

Una posible respuesta es

$X=2.5$ y $Y=26$

pues $4$ es el promedio del segundo número primo y el tercero, $6$ es el promedio del tercer número primo y el cuarto y así sucesivamente...

Otra posibilidad sería

$X=7$ y $Y=25$

pues puede verse que si

$\displaystyle p(x)=7 - \frac{163 x}{20} + \frac{319 x^2}{45} - \frac{37 x^3}{16} + \frac{59 x^4}{144} - \frac{3 x^5}{80} + \frac{x^6}{720}$

entonces

$p(1)=4, p(2)=6, p(3)=9, p(4)=12, p(5)=15, p(6)=18$ y $p(7)=21$.

Comments

¡Felicitaciones, José!

Bueno, al proponer el ejercicio tenía como idea la primera respuesta: la que resulta de promediar los pares de números primos consecutivos.

[Interesante que en su segunda posibilidad  —equivalente a una interpolación de polinomio de 6º con 7 datos—, las respuestas, p(0) y p(8), también resulten "enteros"].

Answer 2

Supongo que entre más breve o simple es la fórmula dada para el $n$-ésimo término de la sucesión, más "correcta" es la fórmula como solución al problema de extrapolar de "manera natural". :)

En ese caso propongo que la sucesión está dada por $f(n) = 3n+\max(2-n,0)$, de donde $X=f(0)=2$ y $Y=f(8)=24$. O, más "correctamente" aún, $f(n) = 3n+\delta_{n1}$ (aquí $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker que vale $1$ si $i=j$ y $0$ si $i \neq j$), de modo que $X=f(0)=0$ y $Y=f(8)=24$.

Nótese que cualquiera de estas dos fórmulas es más "fácil", breve y "natural" que las dos soluciones "complicadas" que ofrece José Hdz. :)

En particular, la primera que menciona José involucra el concepto "avanzado" de $n$-ésimo número primo, que no es tan fácil de definir formalmente: según yo eso involucra algo como primero definir número primo y después definir recursivamente que quiere uno decir por el $n$-ésimo tal número.

Comments

+1... Nada más faltó agregar un "owned" por ahí. :)

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Bueno, mi respuesta era una broma. Obviamente el objetivo de este tipo de preguntas no es dar la descripción más simple de la sucesión, sino leer la mente del que propuso el problema. Eso lo lograste tú, José, y creo que yo nunca le hubiera atinado a eso de los primos. :)

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Gracias, Omar. Bienvenidas, también, sus ingeniosas soluciones alternativas.

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Sin embargo, creo que una respuesta (a una pregunta como esta) es mejor que otra,  no porque "haya leído la mente", sino de acuerdo a la coherencia respuesta-pregunta.

Así, dejaré su respuesta como "la mejor", por unos días, por lo simple y "correcta" ["fácil", "breve" y "natural", parafraseando a un reconocido Dr., jeje].

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Pronto compartiré más retos de sucesiones!