Sí.
A continuación esbozaremos una demostración bien ingeniosa debida a Ivan Niven.
Lema 1. Si $a\in \mathbb{R}$ entonces $\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0.$
Lema 2. Sea $n \in \mathbb{N}$. Si
$\displaystyle f_{n}(x) := \frac{x^{n}(1-x)^{n}}{n!}$
entonces
a) $ \displaystyle f_{n}(x) = \frac{1}{n!}\sum_{i=n}^{2n} c_{i}x^{i}$ donde $c_{n}, \ldots, c_{2n} \in \mathbb{Z}$.
b) Si $x \in (0,1)$ entonces $f_{n}(x) \in (0,\frac{1}{n!})$.
c) Para cada $k \in \mathbb{Z}^{+}: f_{n}^{(k)}(0), f_{n}^{(k)}(1) \in \mathbb{Z}$. [En el post denotamos con $f^{(k)}$ a la derivada $k$-ésima de la función $f$.]
Teorema. El número $\pi^{2}$ es irracional.
Demostración. Supongamos que $\pi^{2} = \frac{a}{b}$ donde $a,b\in \mathbb{N}.$ Hagamos
$\begin{eqnarray}F(x) := b^{n}(\pi^{2n}f_{n}(x)-\pi^{2n-2}f_{n}^{\prime \prime}(x) + \pi^{2n-4} f_{n}^{(4)}(x) - \cdots + (-1)^{n}f_{n}^{(2n)}(x)).\end{eqnarray}$
------------ ($1$)
Puesto que para cada $k\in \mathbb{Z}^{+}$, $f_{n}^{(k)}(0), f_{n}^{(k)}(1) \in \mathbb{Z}$ y $b^{n}\pi^{2n-2k} = a^{n-k}b^{k}$ entonces tanto $F(0)$ como $F(1)$ son números enteros.
Por otra parte, si derivamos dos veces la función $F$ se obtiene
$\begin{eqnarray}F^{\prime \prime}(x) = b^{n}(\pi^{2n}f_{n}^{\prime \prime}(x)-\pi^{2n-2}f_{n}^{(4)}(x) + \pi^{2n-2} f_{n}^{(4)}(x) - \cdots + (-1)^{n}f_{n}^{(2n+2)}(x)).\end{eqnarray}$
------------ ($2$)
Como $f_{n}(x)$ es un polinomio de grado $2n$, $(-1)^{n}f_{n}^{(2n+2)}(x)=0$. De ($1$) y ($2$) se tiene entonces que
$\begin{eqnarray} F^{\prime \prime}(x) + \pi^{2} F(x) = \pi^{2} a^{n}f_{n}(x).\end{eqnarray}$
Así, si
$G(x):= F^{\prime}(x) \sin (\pi x) - \pi F(x)\cos (\pi x)$
entonces
$G^{\prime}(x) = \pi^{2}a^{n}f_{n}(x) \sin(\pi x)$.
Aplicando el teorema fundamental del cálculo se llega a que
$\displaystyle \pi^{2} \int_{0}^{1} a^{n}f_{n}(x) \sin(\pi x)\, dx = G(1)-G(0) = \pi(F(1)+F(0))$.
De esto se sigue que
$\displaystyle \pi \int_{0}^{1} a^{n}f_{n}(x) \sin(\pi x)\, dx \in \mathbb{Z}$.
Por otra parte, del inciso b del lema 2 se sabe que $0<f_{n}(x)<\frac{1}{n!}$ para cada $x\in (0,1)$ y en consecuencia
$\displaystyle 0 <\pi\int_{0}^{1}a^{n}f_{n}(x)\sin(\pi x)\, dx <\frac{\pi a^{n}}{n!}.$
De esta desigualdad y el lema 1 se sigue que si $n$ es suficientemente grande entonces
$\displaystyle 0 <\pi\int_{0}^{1}a^{n}f_{n}(x)\sin(\pi x)\, dx <\frac{\pi a^{n}}{n!}< 1 $
lo cual es ABSURDO pues ya habíamos establecido que $\pi$ veces esa integral es igual al número entero $F(1)+F(0)$. ∎
