Una diofántica con el número del año (pasado)

Question

Determine el número de soluciones en números enteros de la ecuación siguiente:

$\begin{eqnarray}\mathbf{x}_{1}^{2013}+\mathbf{x}_{2}^{2013}+ \ldots + \mathbf{x}_{1006}^{2013} = \mathbf{y}_{1}^{2013}+\mathbf{y}_{2}^{2013}+\ldots + \mathbf{y}_{1006}^{2013}+2013.\end{eqnarray}$

¡Todos a por él!

Answer 1

Hay que "revivir" el problema, está padre. Solución completamente análoga (i.e. lo mismo) a una de mathlinks (para futuras referencias):

Como $4027$ es primo, entonces para cada $i\in\{1,2,3,\ldots\},$ $\mathbf{x}_i^{4026}\equiv 0\hspace{3pt}\text{ó}\hspace{3pt}1\pmod{4027},$ por lo que $\mathbf{x}_i^{2013}\equiv-1,0\hspace{3pt}\text{ó}\hspace{3pt}1\pmod{4027},$ que implica que $$\tag{1}\mathbf{x}_1^{2013}+\cdots+\mathbf{x}_{1006}^{2013}-\mathbf{y}_1^{2013}-\cdots-\mathbf{y}_{1006}^{2013}-2013\equiv j\pmod{4027},$$ donde $j\in\{2,3,4,\ldots,4026\}$ y como $j\not\equiv0\pmod{4027}$ para todo $j,$ entonces el lado izquierdo de la congruencia $(1)$ no puede ser cero y por lo tanto el número de soluciones (enteras) de la expresión original es $0.$

 

A ver si mañana puedo con el otro de teoría de números (pero sin trampa como éste).

Comments

+1... El otro es una bonita variante de un problema que es más fácil hallar en la literatura. Cuando se lo mandé a la gente de Mathematical Reflections, lo publicaron pero por alguna razón optaron por reemplazar el 999998997996…010009008007006005004003002001000 por un número un tanto más decente. Saludos.