Una pregunta de particiones

Question

Dado un conjunto $\mathcal{A}$ conformado por seis número naturales consecutivos, ¿es posible encontrar $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2} \in 2^{\mathcal{A}}$ tales que $\mathcal{A}_{1} \cap \mathcal{A}_{2}=\emptyset,|\mathcal{A}_{1}| = |\mathcal{A}_{2}| =3$ y $\displaystyle \prod_{a \in \mathcal{A}_{1}}a = \prod_{a \in \mathcal{A}_{2}} a$?

Answer 1

Sigamos el razonamiento empezado por Rodrigo. Primero observamos que entre 6 numeros consecutivos siempre hay uno divisible por 5. Si no queremos llegar a una contradiccion como Rodrigo, entonces necesitamos al menos dos de estos y el conjunto $\mathcal{A}$ debe ser de la forma

$5k, 5k+1,\dots, 5k+5$

y $5k\in \mathcal{A}_1$, $5k+5\in \mathcal{A}_2$.

$$ \prod_{a\in \mathcal{A}_1} a \leq (5k)(5k+3)(5k+4) < (5k+1)(5k+2)(5k+5)\leq \prod_{a\in \mathcal{A}_2}$$.

Por lo que nunca es posible encontrar $\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2$ con las propiedades de arriba.

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¡Genial! ...

Answer 2

Como $\mathcal{A}_1$ y $\mathcal{A}_2$ son disjuntos y cada uno tiene 3 elementos, entonces $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 = \mathcal{A}$. En otras palabras, queremos separar los seis naturales consecutivos en dos conjuntos de tres elementos con el mismo producto.

¡Pero no siempre se puede! Si $\mathcal{A} = \{1,2,3,4,5,6\}$, entonces solo uno de los dos productos tiene un factor de 5...

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¿Podrías demostrar que, de hecho, nunca se puede?