Distancia entre conjuntos

Question

Alguien me podría dar una idea para demostrar que la distancia entre A y B conjuntos, es igual a la distancia entre A cerradura y B cerradura

Comments

Deberias redactar mejor tu pregunta. Por ejemplo $A,B$ son subconjuntos de que espacio? como defines la distancia entre dos de estos subconjuntos? etc...

Answer 1

Para empezar, como hablas de distancia me hubicaré en un espacio métrico $(X,d)$. Ahora, supondre impunemente que los conjuntos $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$. Lo que necesitas es mostrar que:

"Si $x\in\overline{A}$, entonces $d(x,A)=0$".

Con esto puedes ver lo que quieres. Espero te sirva la ayuda.

Saludos _\m/

Comments

Cierto... entonces simplemente ya no recuerdo qué se hacía para obtener un espacio donde la métrica de Hausdorff sea de verdad una métrica...

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No David. Lo que tu decias es cierto. Otro problema es que la distancia de Hausdorff puede ser infinita si alguno de los conjuntos no es acotado. A lo que me referia es que la distancia que usa Enrique tiene el mismo problema de solo ser una pseudometrica.

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Si Carlos, ya te entendí. Ahora, necesitamos que Memo nos de claridad sobre en qué escenario debemos pensar y no divagar con otras opciones. Saludos a todos _\m/

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Pero si divagar con otras opciones es lo divertido en las matemáticas :)

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Para evitar que la distancia de Hausdorff sea infinita, se puede uno restringir a subconjuntos compactos, en lugar de cerrados. O bien se puede pedir que el espacio ambiente sea compacto (ya que, si es Hausdorff, entonces los subconjuntos cerrados son exactamente los compactos).