Halla la RUTA MÍNIMA para la araña caminante (A) hacia la mosca quieta (M), a través de las superficies del rectoedro.

Question

RETO de CAMINOS.- [Es básico, ¡lúzcanse, topólogos!]

➜ Una araña hambrienta (en A) busca capturar a una mosca dormida (en M); los puntos A y M pertenecen a caras opuestas de una caja con forma de rectoedro -de dimensiones 10m x 10m x 20m-, como se observa en la figura.

** La trayectoria del octópodo debe pasar exclusivamente por superficies cualesquiera de la caja -NO son factibles los viajes a través del 'espacio' ó 'aire'-, ya que este insecto no puede saltar, no usa -esta vez- su telaraña, y solo tiene posibilidad de ir por la mosca "a pata" sobre las paredes. **

➜➜ Halla la(s) RUTA(s) de LONGITUD MÍNIMA que podría recorrer la "arácnida" para dar caza a su bocado -la mosca dormida, que no se mueve-..como parte de la respuesta, indica también el VALOR de dicha LONGITUD 'MÁS CORTA' [en "m"].

 

 

 

** Las distancias indicadas en la figura, son medidas de modo perpendicular **

 

 

Answer 1

Muestro, aquí, la respuesta de Renato Iturriaga (la de su último comentario). Si alguien se anima a ampliar, etc., bienvenido sea!

«..si desdoblamos, primero pared de la derecha, luego techo,  y finalmente la pared opuesta,  el triangulo es de 26 de largo y 14 de ancho el camino es de 29.5 metros! »

Comments

Esta es la función que hay que minimizar (L(x,y,z)=√(25+x²)+√(y²+(9-x)²)+√(z²+(20-y)²)+√(1+(5-z)²)) y su Vector gradiente es: [(1/(2√((x-9)²+y²)))(2x-18)+(x/(√(x²+25))),(1/(2√((y-20)²+z²)))(2y-40)+(y/(√((x-9)²+y²))),(z/(√((y-20)²+z²)))+(1/2)((2z-10)/(√((z-5)²+1)))]
ahora lo igualamos al vector[0,0,0] y resolvemos el sistema, la solución es:
[x=2. 6923,y=11. 714,z=4. 4615]  si estos datos los ponemos en L(x,y,z) da como resultado √(25+(2. 6923)²)+√((11. 714)²+(9-2. 6923)²)+√((4. 4615)²+(20-11. 714)²)+√(1+(5-4. 4615)²)= 29. 53 (redondeado)

Answer 2

Si la araña baja al piso, cruza y sube son 30 metros.  Si la araña se va a la pared de la derecha  para llegar a la opuesta lo mejor que puede hacer es "desdoblar" la caja trazar una linea recta volver a doblar la caja y seguir la trayectoria pintada.  Cuando la caja esta desdoblada aplicamos pitagoras a un triangulo de 30 de largo y 8 de alto. El resultado es mas que 30 metros. Yo le recomiendo a la araña irse por el piso, o por el techo si teme que la pisen. Da igual.

Comments

Gracias por participar, Renato.

Bueno, coincidimos en que una buena opción es  "desdoblar" la caja..; ahora que, hay más de un modo de realizarlo. ¿Será posible una trayectoria más corta para la araña, que los 30 m que resultan de "irse por el piso, o por el techo"?

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Tienes razón si desdoblamos, primero pared de la derecha, luego techo,  y finalmente la pared opuesta,  el triangulo es de 26 de largo y 14 de ancho el camino es de 29.5 metros!

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Ok, Renato. Por favor, escriba en una nueva respuesta, muchas gracias!