Halla la ecuación correspondiente a las trayectorias pedidas.

Question

Encuentra la ecuación de cada una de las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas: y = cx² (c∈ℝ).

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De acuerdo con la respuesta del usuario dlara a la pregunta ¿Qué tipo de preguntas puedo hacer en este foro?, "Preguntas sobre matemáticas, desde muy básicas, hasta muy avanzadas. Desde tareas de prepa, hasta investigación en matemáticas." Así que no veo el porqué de los votos negativos.

Answer 1

Necesito practicar sobre Trayectorias Ortogonales. Por eso, he decidido responder a esta pregunta, la cual además veo que no ha sido contestada.

Derivando obtenemos $\displaystyle y^{\prime}=2cx$, que es equivalente a la ecuación $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2y}{x}$ . Sustituyendo en esta ecuación $\displaystyle y^{\prime}​$ por $\displaystyle -\frac{1}{y^{\prime}}​$ obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales: $\displaystyle -\frac{1}{y^{\prime}​}=\frac{2y}{x}$, o bien, $\displaystyle xdx+2ydy=0$ . Integrando, obtenemos la familia de curvas: $\displaystyle y^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+C$,  $\displaystyle C>0$.

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Bien, Luis.

* Hay que señalar que aquella nueva constante $ \ \textbf{C} \ $ que muestra, deberá ser 'positiva' [para que la ecuación obtenida tenga soluciones reales, representación geométrica de curva..], esto es: $ \ \textbf{C} \ ∈ \ \mathbb{R^{+}} $ .

** Vale decir también que, pese a no haberlo indicado explícitamente, su respuesta [familia de elipses] también abarca el caso en que la constante inicial dada (c∈ℝ) sea nula (c=0), que es el caso de la parábola que 'degeneró' en la recta del Eje $ \ \mathbf{X} $ .

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Con respecto a su nota * :
Bien, es cierto. Sé que $\forall\ y \in \mathbb{R}$, $y^{2} \geq 0$. Así, $C \geq \frac{1}{2}x^{2}$. Ya que $\frac{1}{2}x^{2} \geq 0\ \forall\ x \in \mathbb{R}$, tenemos entonces que también $C \geq 0$. ¿O debe ser $C$ estrictamente positivo, esto es, $C>0$? Si es así, no sé por qué. ¿Qué opina usted, Michel?

Con respecto a su nota ** :
No entiendo bien lo que me dice. Le pido por favor que me lo aclare. Creo que se refiere al hecho en que $c=0$, lo cual implica que $y^{\prime}=0$, cuya solución es $y \in \mathbb{R}$. Pero le pido que me lo aclare bien, porque no estoy seguro.

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El " ** " no es sino una acotación..me refiero a que su respuesta (de la ecuación de elipses) es completa: también abarca el caso de c=0, pese a que el $ \textbf{y'} $ fue tomado como 'no-nulo' en su proceder, dado que se trabajó con el negativo de su recíproco: $ - \frac{1}{y'} $ .

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¿Puede ser $\displaystyle C$ igual a $\displaystyle 0$, o debe ser estrictamente positivo? Según mi análisis, he concluido que $\displaystyle C \geq 0$. Pero usted, Michel, ha dicho esto: $\displaystyle C>0$, es decir, $\displaystyle C$ debe ser estrictamente positivo. Tengo esa duda.

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Lo que genera un poco de confusión, según noto, es el uso de la letra 'c' para dos constantes diferentes: la $ \textbf{c} $ es la constante dada en el enunciado; la otra, es una nueva constante $ \mathbf{C} $ _en mayúscula_, propuesta en su respuesta (podría cambiarse por otra letra cualquiera).

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No debe haber confusión. La primera $\displaystyle c$ es minúscula, y la segunda $\displaystyle C$ es mayúscula. En mi anterior comentario, claramente yo preguntaba por la $\displaystyle C$ (mayúscula). Usted también se refirió a la $\displaystyle C $ (mayúscula) en su primer comentario a mi respuesta diciendo que debe ser estrictamente positiva; a esa $\displaystyle C$ me refiero yo. Pero yo he concluido que es mayor o igual que $\displaystyle 0$, y precisamente esa es mi duda.

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Bueno, Luis..si se refiere a la $ \mathbf{C} $, pues afirmo que debe ser positiva, estrictamente; NO podría valer $ \mathbf{0} $, pues el correspondiente miembro de la familia ya no sería una curva, sino que habría quedado como el punto $ \textbf{(0; 0)} $ .

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Cierto. Tiene razón. Para $\displaystyle C=0$ quedaría $y^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}$, cuya única solución real sería el punto $\left(0, 0\right)$. Así, nos quedamos con $\displaystyle C>0$ . Gracias por su aclaración.