Descomposición de matrices

Question

Muestre que toda matriz cuadrada $A$ con coeficientes en un campo de característica cero, se puede expresar como la suma de una matriz escalar con una matriz de traza cero. Además, pruebe que esta descomposición es úncia.

Comments

Esto es falso, básicamente porque en un campo de caraterística $p$ cualquier matriz escalar de $p \times p$ tiene traza $0$. Por ejemplo, no existe la descomposición que pides para $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ con entradas en $\mathbb{Z}/3$

---

Tienes razón. Lo corrijo de inmediato.

---

¿Qué pasó? ¿Está muy fácil o qué?

---

Tal vez seria bueno que cuando se edita una pregunta, se aclare que fue lo que se edito. De otra forma, no se entiende a que se refieren comentarios como el de Omar y pueden llevar a confusiones.
Bueno, aqui es mas o menos claro que lo que se cambio fue la hipotesis de caracteristica cero, pero de todos modos...

Answer 1

$A=\frac{\mathrm{tr} A}{n} \mathrm{Id}+(A-\frac{\mathrm{tr} A}{n}\mathrm{Id})$.

La unicidad se sigue del hecho de que la única matriz escalar de traza cero es la matriz $0$.

Comments

La consecuencia de este problema es la descomposición del álgebra lineal general como suma directa de su álgebra de Lie derivada y su centro.