Bueno, ademas de que la notacion es ciertamente incorrecta, tampoco es claro a que te refieres con $\mathrm{Spec}(A)+\mathrm{Spec}(B) $. Si lo interpretas como Jose Hdz ($X+Y = \{x+y \;|\; x\in X,\;y\in Y\}$) entonces es obviamente incorrecto, pues $\mathrm{Spec}(A)+\mathrm{Spec}(B)$ tendra en general mas de $n$ elementos, como es el caso en el ejemplo de Jose Hdz.
Otra interpertacion que tiene mas sentido seria la siguiente. para esto voy a suponer que $A$ y $B$ son diagonalizables de modo que $\mathrm{Spec}(A)$ y $\mathrm{Spec}(B)$ tienen exactamente $n$ elementos. Dado que $A$ y $B$ conmutan, son simultaneamente diagonalizables, es decir, existe una base $e_1,\dots,e_n$ de vectores propios para $A$ y $B$. Denota con $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ y $\mu_1,\dots,\mu_n$ los valores propios correspondientes de $A$ y $B$ respectivamente. Entonces es claro que los valores propios de $A+B$ son $\lambda_1+\mu_1,\dots, \lambda_n+\mu_n$.
Una pregunta relacionada muy interesante (y muy dificil) fue propuesta en 1912 por H. Weyl y que ahora es conocida como el problema de los valores propios:
Como se relacionan los valores propios de dos matrices hermitianas con los valores propios de su suma?
Observa que como estamos considerando solo matrices hermitianas, en particular, son matrices diagonalizables. Una formulacion equivalente pero que le da mas simetria al problema seria:
Como se relacionan los valores propios de tres matrices hermitianas con suma cero?
Es facil encontrar algunas relaciones necesarias. Sean $A,B,C$ las tres matrices hermitianas con suma cero. Entonces tenemos que $tr(A)+tr(B)+tr(C)=0$.
Una solucion completa a este problema fue dada por primera vez por Klyachko en 1999. La solucion dice basicamente que los valores propios estan relacionados por un sistema finito de desigualdades lineares.
Dado la observacion de arriba respecto a las trazas de las matrices, bien podemos restringir nuestra atencion a matrices de traza cero. Veamos el caso de matrices de $2\times 2$. Entonces el espectro de tales matrices es de la forma $\lambda, -\lambda$.
Sean $\alpha, \beta, \gamma \geq 0$ tres numeros reales. Entonces para que existan tres matrices hermitianas de traza cero $A,B,C$ con suma cero $A+B+C = 0$ y con valores propios $\alpha,-\alpha$; $\beta,-\beta$ y $\gamma,-\gamma$ respectivamente, es necesario y suficiente que los numeros $\alpha, \beta, \gamma$ satisfagan las desigualdades del triangulo (en otras palabras, que exista un triangulo de lados $\alpha, \beta, \gamma$).
La desigualdad del triangulo en el caso $n=2$ no es una coincidencia. En general, las desigualdades que se obtienen tienen que ver con triangulos ahora no en el espacio Euclideano pero en otras variedades Riemannianas (mas especificamente, en los espacios simetricos de tipo no compacto $SL(n,\mathbb{C})/SU(n)$).
