Polinomio mínimo de una matriz

Question

Calcular el polínomio mínimo de la matriz siguiente:

$$\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{ \bf{+19} }&{-23}&{\bf{0}}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}&{-1}&{19}&{-23}\end{bmatrix}$$

eventualemente este problema se puede concebir por fuerza bruta, la idea es sacarlo sin necesidad de tales cuentas, en algún momento este problema surgio cuando veia formas canónicas.

Comments

"Fuerza bruta".., bueno, imagino que quiso referirse a un modo brusco de cálculo o algo así; cualquiera que resuelva el ejercicio —por el método que fuere—, un gramo de inteligencia tendrá, jeje!

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Pues sí me refería a hacerlo por cálculo directo, pero si vemos la matriz casi esta en forma canónica racional, y por ahí era el asunto.

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Ciertamente, Iziro..se ve "medio-simétrica" la matriz, por así decirlo; hay que ver cómo sacar el máximo provecho de ello.

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¿Que pasaría si el elemento de la matriz $a_{34}$ fuese cero?, entonces la matriz estaría en forma canónica racional, ahora si sería fácil calcularle su polinomio mínimo.
¿Cuál sería?

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Si la matriz es "A", quiso decir $ \textbf{a₃₄} $, Iziro, cierto.. (?)

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Si correcto me refería al $1$ en la posición $a_{34}$, siempre me equivoco en esto de las posiciones de la matriz.

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La idea de quitar al elemento $a_{34}$ es dejarla en forma canónica racional, y despues se podría ver que pasa cuando no lo quitamos.

Answer 1

A ver qué te parece. Traté de no hacer cálculo hasta que fuera necesario. Sea $a=-19$ y $b=23$. Consideremos la matriz $E=\lambda {\rm Id}-A$, donde $A$ es la matriz descrita en el problema. Si $B=\left[\begin{smallmatrix}\lambda & -1 & 0\\0 & \phantom{-}\lambda & -1\\1 & \phantom{-}a &\lambda+b\end{smallmatrix}\right]$ y $C=\left[\begin{smallmatrix}\lambda & -1 & 0\\0 & \phantom{-}\lambda & -1\\1 & -a &\lambda+b\end{smallmatrix}\right]$, entonces $\det E=\det B\det C$. Luego, calculando el determinante por cofactores por la primer columna, podemos ver que $\det B=\lambda^{3}+b\lambda^2+a\lambda+1$ mientras que $\det C=\lambda^3+b\lambda^2-a\lambda+1$. Al multiplicar estas dos expresiones se obtiene $\lambda^6+2b\lambda^5+b^2\lambda^4+2\lambda^3+(2b-a^2)\lambda^2+1$. Es todo lo que pude hacer.

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Ya con los cambios realizados por Izzyro, y habiendome dado cuenta que pide el polinomio mínimo en vez del característico (andaba algo despistado cuando lo hice y así me mantuve hasta el día de hoy) podemos ver que el polinomio mínimo de $A$ debe ser $\lambda^3+23\lambda^2-19\lambda+1$ ya que el polinomio característico, que se obtiene reciclando lo que se puede de los cálculos previos resultando ser $(\det B)^2$, tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio mínimo.

Comments

Tus cálculos son correctos Enrique, sólo que me acabo  de dar cuenta que metí la pata en la escritura de la matriz, acabo de corregir el signo en $23$ los dos son positivos, y para facilitar acabo de quitar el $1$ en  donde esta el $\bf{0}$ en negritas, aunque el problema original tienen un $1$ en donde esta el $\bf{0}$ en negritas.
Disculpas.

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Así sale más fácil y con las mismas ideas, basta calcular el determinante de la matriz que yo llamo $B$ y elevarlo al cuadrado.

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Correcto Enrique solo que te falto el signo negativo en $19$
$\lambda^3+23\lambda^2-19\lambda+1$

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Pero se elimina con un $-1$ que anda por ahí, según yo. Voy a checar mis cuentas.

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En tu matriz $B$, $a=-19$.

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Sí, ya vi. Lo corrijo

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Sólo eran unas "cuantas cuentas".