Halla el Conjunto Solución (x;y;z) del sistema de ecuaciones.

Question

Se pide el C.S. para 'x', 'y', 'z' —variables reales—

 

Answer 1

Primero notemos que en cualquier solución $x, y, z \ge 0$. Tenemos que $(2x-1)^2 \ge 0$, de donde $1+4x^2 \ge 4x$ y $\frac{4x}{1+4x^2} \le 1$. Como $x \ge 0$, podemos multiplicar por $x$ y ver que $y = \frac{4x^2}{1+4x^2} \le x$. (Nótese que la igualdad en esta desigualdad se da si y solo si $x=0$ o $2x-1=0$, o sea, $x=1/2$.) Análogamente $z \le y$ y $x \le z$, de donde vemos que $x=y=z$. Finalmente como se da la igualdad en nuestra desigualdad, $x$ debe ser $0$ o $1/2$. En conclusión, las únicas soluciones son $x=y=z=0$ y $x=y=z=1/2$.

Comments

¡Excelente, Omar Antolín!

Hay varios métodos para resolver este sistema, pero el que has descrito es uno elegante y preciso.

** En efecto, trabajando en ℝ, el Conjunto Solución pedido es:

 C.S(x; y; z) = { (0;0;0), (½;½;½) }

Answer 2

 

*** MÉTODO III ***

- - - - - - - - - - - - - - 

 

El Sistema original es:

 

4x²

________ = y

1 + 4x²

 

4y²

________ = z

1 + 4y² 

 

4z²

________ = x

1 + 4z²

 

 

Consideramos ‘invertir’ cada igualdad: ello solo será posible si: x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0.

 

Mas, si x = 0 ∨ y = 0 ∨ z = 0, al reemplazar en las ecuaciones, obtenemos:

 

Si x = 0 → y = 0, z = 0

Si y = 0 → z = 0, x = 0

Si z = 0 → x = 0, y = 0

 

De donde x = y = z = 0 es una (única) terna ‘trivial’ de solución al sistema original.

 

∴ 1ra Terna (x; y; z): (0; 0; 0)

 

 

Ahora, para x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, invirtiendo en las 3 ecuaciones:

 

1 + 4x²

________ = 1/y

4x²

 

1 + 4y²

________ = 1/z

4y²

 

1 + 4z²

________ = 1/x

4z²

 

Distribuyendo cada cociente:

 

1 

_____ + 1 = 1/y

4x²

 

1 

_____ + 1 = 1/z

4y²

 

1 

_____ + 1 = 1/x

4z²

 

Por comodidad de trabajo, hacemos un cambio de variables:

 

1/(2x) = a ➜ 1/x = 2a; 1/(4x²) = a²

1/(2y) = b ➜ 1/y = 2b; 1/(4y²) = b²

1/(2z) = c ➜ 1/z = 2c; 1/(4z²) = c²

 

Luego, haciendo los reemplazos respectivos, resulta:

 

a² + 1 = 2b

b² + 1 = 2c

c² + 1 = 2a

 

Sumando, m. a. m., las 3 ecuaciones del nuevo sistema:

 

a² + b² + c² + 3 = 2b + 2c + 2a

 

 

*** COMPLETANDO CUADRADOS ***

 

(a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1) + (c² – 2c + 1) = 0

 

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0

 

 

RESOLVIENDO EN LOS Números REALES:

 

a = 1 ; b = 1 ; c = 1 (única posibilidad)

 

 

Regresando, ahora, a las variables originales:

 

1/(2x) = 1 ➜ 2x = 1 ➜ x = ½

1/(2y) = 1 ➜ 2y = 1 ➜ y = ½

1/(2z) = 1 ➜ 2z = 1 ➜ z = ½

 

Siendo, entonces, x = y = z = ½ la única terna ‘no-trivial’ de solución al sistema original.

 

∴ Terna 2 (x; y; z): (½; ½; ½)

 

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➜ ➜ C.S.('x', 'y', 'z') = { (0 ;0; 0), (½; ½; ½) } .