Ecuaciones Irracionales sencillas.

Question

Trabajando siempre en $\mathbb{R}$, siendo:

 

$a = \sqrt{4-\sqrt{5-a}}$

 

$b = \sqrt{4+\sqrt{5-b}}$

 

$c = \sqrt{4-\sqrt{5+c}}$

 

$d = \sqrt{4+\sqrt{5+d}}$

 

Se pide calcular el(los) valor(es) de $abcd$.

Comments

Tiene fuentes varias, es algo conocido. ¡Adelante!

Answer 1

La primera observacion es que $a,b,c,d\geq 0$ ya que son iguales a una raiz.

Veamos ahora por ejemplo la primera ecuacion. Si $a$ es una solucion entonces tambien es solucion del polinomio

$P(x)=(x^2-4)^2-(5-x)=x^4-8x^2+x+11$.

(esto se ve facilmente elevando al cuadrado las raices).

Este polinomio tiene valores $P(-2)=-7$, $P(0)=11$ y $P(2)=-3$ y concluimos que tiene cuatro ceros reales $\lambda_i$ con $\lambda_1<-2<\lambda_2<0<\lambda_3<2<\lambda_4$.

Entonces $a=\lambda_3$ o $\lambda_4$. Pero $a^2-4 = -\sqrt{5-a}<0$, por lo tanto $a<2$. Entonces  $a=\lambda_3$.

Analogamente vemos que $b$ tambien es cero de $P$ y ademas $b^2-4 =\sqrt{5-b}>0$. Entonces $b=\lambda_4$.

Para $c$ y $d$, observamos que $-c,-d$ son ceros de $P$ y con un analisis analogo al de arriba concluimos que $c=-\lambda_2$ y $d=-\lambda_1$.

Por lo tanto $abcd=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4=P(0)=11$.