Ecuacioncilla irracional: un "relax".

Question

Sobre $\mathbb{R}$, se pide resolver la ecuación:

$ \sqrt{|x|-|x-1|} \ - \sqrt{|x|+|x-1|} \ = \sqrt{x - \sqrt{x}} $

Answer 1

Se puede resolver basándose en las siguientes consideraciones:

1. Nótese que, para que el lado derecho de la ecuación tenga sentido, lo que está dentro de la raíz debe ser no negativo (debido a que estamos trabajando sobre $\mathbb R$), es decir, se cumple que

$x-\sqrt{x}\geq 0$ o, equivalentemente, $x\geq\sqrt{x}$, lo que equivale a decir que $x\geq 1$.

2. Como consecuencia de esto, en particular, tanto $x$ como $x-1$ son positivos, por lo que al aplicarles el valor absoluto, estas cantidades no se verán alteradas, de modo que la ecuación se transforma en

$\sqrt{x-(x-1)}-\sqrt{x+(x-1)}=\sqrt{x-\sqrt{x}}$, y simplificando queda:

$1-\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-\sqrt{x}}$.

3. Ahora bien, nótese que el lado derecho de dicha ecuación es no negativo, por lo cual lo mismo debe de ser cierto del lado izquierto, es decir,

$1-\sqrt{2x-1}\geq 0$, o equivalentemente $1\geq\sqrt{2x-1}$. Ambos lados de esta desigualdad son no negativos, por lo que es válido elevarlos ambos al cuadrado y obtener

$1\geq 2x-1$, o equivalentemente, $1\geq x$. Esto, junto con la conclusión del punto 1., implica que, simplemente para que la ecuación tenga sentido, debe tenerse que $x=1$.

4. Por último, nótese que $x=1$ efectivamente es una solución, pues al sustituirlo en la ecuación, todo cuadra. Por lo tanto, la única solución es $x=1$.

Comments

¡Muy bien, David! En efecto, el conjunto solución de la ecuación es: $\textbf{{1}}$

Answer 2

 Aquí, mi resolución: