Sistema de ecuaciones..!

Question

El siguiente sistema de ecuaciones en $\textbf{x, y, z}$ ∈ $\mathbb{R}$ :

 

$ \\ x  \ + y \ + z \ = \ \ 3 $

$ \\ x^3 + y^3 + z^3 = 15 $

$ \\ x^4 + y^4 + z^4 = 35 \\ $

 

presenta alguna solución tal que: $ \\ x^2 + y^2 + z^2 < 10 \\ $.

 

Para dicha solución, se pide calcular el valor de  $ \\ x^5 + y^5 + z^5 \ . $

Comments

Fuente: Colaboradores del grupo "$\textbf{Álgebra-Perú}$".

Answer 1

 

Sea $p_k = x^k+y^k+z^k$, de modo que $p_1=3, p_2<10, p_3=15, p_4=35$. Usaremos  también las funciones simétricas elementales de $x,y,z$, a saber, $e_0=1$, $e_1 = x+y+z$, $e_2 = xy+yz+xz$, $e_3 = xyz$ y $e_k=0$ para $k>3$. Las identidades de Newton dicen que para cualquier $n$, $$n e_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} e_{n-k} p_k.$$

 

En nuestro caso, usando que $e_k=0$ para $k>3$ y usando los valores dados de $p_1=e_1$, $p_3$ y $p_4$, éstas se reducen a:

$$ 2e_2 = e_1 p_1 - p_2 = 9 - p_2 $$

$$ 3e_3 = e_2 p_1 - e_1 p_2 + p_3 = \frac{3}{2}(9-p_2) - 3p_2 + 15 = \frac{1}{2} (57 - 9 p_2)$$

$$ 0 = 4e_4 = e_3 p_1 - e_2 p_2 + e_1 p_3 - p_4 = \frac{1}{2}(57-9p_2) - \frac{1}{2}(9-p_2)p_2 + 45 - 35 \\= \frac{77}{2} - 9p_2 + \frac{1}{2}p_2^2$$

 

Resolviendo la ecuación cuadrática vemos que $p_2 = 7$ o $p_2 = 11$. Como sabemos que $p_2 < 10$, debe ser que $p_2 = 7$. Así, sabemos también que $e_2 = 1$ y $e_3 = -1$.

 

Para obtener $p_5$, usamos el caso $n=5$ de las identidades de Newton:

$$ 0 = 5e_5 = e_4 p_1 - e_3 p_2 + e_2 p_3 - e_1 p_4 + p_5 = 7 + 15 - 105 + p_5,$$

de donde $p_5 = 83$.

 

Por curiosidad, veamos el otro caso, en que $p_2 = 11$. Obtenemos $e_2 = -1$, $e_3 = -7$ y por lo tanto, en este caso $p_5 = 43$.

Comments

¡Excelente, Dr. Omar! Gracias por darse el tiempo. Procedimiento y respuesta correctos...

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Solo un comentario, Omar:

Más allá del supuesto de que el problema asume correctamente que "el (...) sistema (...) presenta alguna solución", ¿cómo saber si el valor hallado para $p_5$ tiene respaldo de solución(es) $\textbf{x,y,z}$ ∈ $\mathbb{R}$?

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El sistema siempre tiene soluciones complejas y para calcular el valor de $x^5 + y^5 + z^5$ es innecesario (e inútil, me parece) saber si las soluciones casualmente son reales o no.

En el caso de $p_2 = 7$ sucede que si son reales, pues $x,y,z$ son raíces de $(t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - e_1 t^2 + e_2 t - e_3 = t^3 - 3t^2 + t + 1$ que claramente tiene como raíz a $t=1$; dividiendo por $t-1$, obtenemos que las otras raíces son raíces de $t^2-2t-1$, así que $x,y,z$ son una permutación de $1, 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$.

En el caso de $p_2 = 11$, $x,y,z$ son raíces de $t^3-3t^2-t+7$ que solo tiene una raíz real. Es fácil verificar que el mínimo local de ese polinomio es positivo, a saber, el mínimo es $4 \left(1-\frac{4}{3\sqrt{3}}\right)$ que ocurre para $t = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$). Para un polinomio cúbico esto basta para concluir que solo tiene una raíz real.

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Bien! La inquietud sobre las raíces reales se debe, básicamente, a las condiciones planteadas al respecto en el enunciado del problema; de no haberse encontrado ningunos $\textbf{x,y,z}∈ \mathbb{R}$ de solución, entiendo que lo correcto sería indicar la contradicción...en ese caso, no tendría sentido ese $x^5+y^5+z^5$.

Ahora sí, completa la resolución!