Question

Demuestre que (BnA^C)U(BnA)=B

Answer 1

$(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})=B$

 

Sea $x\in{(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})}$ entonces $x\in{B\cap A^c}$ ó $x\in{B\cap{A}}$.

En ambos casos tienes que $x\in{B}$.

Por lo tanto tanto tenemos la inclusión "$\subseteq$".

La otra inclusión es similar.

------------------------------------------------------------------------------------------

Veamos "$\supseteq$" 

Sea $x\in{B}$. Supongamos que $x\notin{B\cap{A}}$ entonces $x\notin{B}$ ó $x\notin{A}$. Debemos tener que $x\notin{A}$ ¿Por qué?

Por lo tanto $x\in{A^c}$. Por hipótesis tenemos $x\in{B}$, así que  $x\in{A^c\cap{B}}\Rightarrow x\in{(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})}$.

Y con esto tenemos la otra inclusión.

Comments

ammmm a este no le entendi muy bien asi ya demostramos que x\in{(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})} x\in{(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})} es igual a B

---

Claro, porque es una igualdad de conjuntos.
Tenemos que verificar las dos inclusiones, yo ya vi una.
Considerar un elemento de ${(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})}$y ver que esta en $B$.
Y reciprocamente un elemento en $B$ y ver que esta en ${(B\cap A^c)\cup(B\cap{A})}$.
Y con esto tienes la igualdad.
¿Está bien?

---

ammmm me puedes desarrollar la otra inclusion por favor

---

Ahora sí, esta bien.

---

aaaa cierrto muchas gracias me sirvio de mucho

---

me puedes ayudar en esta:

(AUB ^c) ^c U (A ^c n B^c)= A ^c

Answer 2

Es una consecuencia directa de la distributividad de $\cap$ sobre $\cup$. En efecto, si suponemos que $A$ y $B$ están ambos contenidos en el conjunto $X$ y que el complemento es relativo a $X$ entonces

$\begin{eqnarray*}

(B \cap A^{\mathrm{c}}) \cup (B\cap A) &=& B \cap (A^{\mathrm{c}}\cup A)\\

&=& B \cap X\\

&=& B.

\end{eqnarray*}$

Comments

muchas gracias me sirvio de mucho