Función que cumple $f(a)f(b)=f(a^2b^2)$

Question

Sea $S=\{2,3,4\dots\}$. Existe $f: S\mapsto S$ tal que para todo $a,b\in S$ con $a\neq b$ se tenga $f(a)f(b)=f(a^2b^2)$? Gracias de antemano.

Comments

¿Cómo se debe interpretar la condición cuando $a^2 b^2 > n$, de modo que $a^2 b^2$ no está en el dominio de $f$?

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Perdón . puse mal la definición de S. Son los enteros mayores o iguales a 2

Answer 1

No existe una función $f$ que cumpla esa condición. Supongamos que sí.

Fijemos $x, y \in S$. Para casi cualquier $t$, tenemos que $f(x) f(t) f(y) = f(x^2 t^2) f(y) = f(x^4 t^4 y^2)$ y  también $f(x) f(t) f(y) = f(x) f(t^2 y^2) = f(x^2 t^4 y^4)$.

(Para que se valgan todas esas igualdades $t$ debe cumplir $t \neq x$, $t \neq y$, $x^2 t^2 \neq y$, $x \neq t^2 y^2$ que solo elimina un número finito de posibilidades para $t$.)

Además, $f(x^2) f(x^2 t^4 y^4) = f(x^8 t^8 y^8) = f(y^2) f(x^4t^4y^2)$. Combinando nuestras igualdades, vemos que $f(x^2) = f(y^2)$, o sea que $f$ toma el mismo valor $c$ en todos los cuadrados perfectos.

Finalmente, como para $x \neq y$, $f(x^2) f(y^2) = f(x^4 y^4)$, tenemos que $c^2 = c$ y esto es imposible pues $c \in S$.