Question

Demuestre que (AUB^C)^C   U   (A^CnB^C)=A^C

Comments

¿Qué significa +C?

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ammm el ejercicio es el que esta abajo

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¡Hola veroo! Espero que te encuentres bien, en términos generales. Permiteme darte unas sugerencias para que el formato de tu pregunta sea más adecuado para todos los que lo lean.

1.- Las ecuaciones matemáticas de preferencia escribelas entre signos de pesos. Así, el editor de texto que se usa en la redacción de preguntas entenderá que lo que escribas entre dos signos de pesos es una fórmula matemática.
2.- El símbolo de unión en "modo matemático" (o sea, lo que escribas entre $) lo pones con el comando \cup.
3.- El símbolo de intersección lo pones con el comando \cap.

Con estas sugerencias, si las implementas en la pregunta, verás que quedará más clara la redacción.

Saludos _\m/

Answer 1

¡Hola Veroo!

 

Tu pregunta es

 

Mostrar que $(A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)=A^c$.

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$\boxed{\subseteq}$Sea $x\in (A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)$, entonces $x\in(A\cup B^c)^c$ o $x\in (A^c \cap B^c)$. 

 

1. Si $x\in(A\cup B^c)^c$ entonces $x\notin(A\cup B^c)$, entonces $x\notin A$ y $x\notin B^c$, luego como $x\notin A$, $x\in A^c$.
2. Si $x\in(A^c\cap B^c)$ entonces $x\in A^c$.

Hemos demostrado que si $x\in (A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)$ entonces $x\in A^c$.

 

$\boxed{\supseteq}$Sea $x\in A^c$, entonces $x\notin A$. Observemos el siguiente diagrama

El complemento sería

 

Al escoger un elemento en el diagrama anterior (la parte rayada en rojo) tenemos dos opciones:

 

Que sería el caso en el cual $x\notin B$, ó

 

Que vendría a ser el caso en el cual $x\in B$. Veamos cada caso por aparte

 

1. Si $x\in B$ entonces $x\notin B^c$, luego, como $x\notin A$ necesariamente $x\notin (A\cup B^c)$, entonces $x\in(A\cup B^c)^c$, y por consiguiente $x\in (A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)$.
2. Si $x\notin B$, entonces $x\in B^c$, luego, como $x\in A^c$, tenemos que $x\in (A^c\cap B^c)$, y por consiguiente $x\in (A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)$.

Hemos demotrado que si $x\in A^c$ entonces $x\in (A\cup B^c)^c\cup (A^c \cap B^c)$.

Esto completa la prueba.

 

Espero sea de ayuda, cualquier pregunta, mistake u observación bienvenido sea. 

Comments

si esta bien. los ultimos dos pasos son esenciales para la demostracion o pueden ser omitidos'?

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¿Por los últimos dos pasos, te refieres a aquello de $x\in B$ ó $x\notin B$? En esta demostración me parece necesario, no hallo otra forma de hacerlo.

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a muy bien. esta bien gracias. y no me podrias ayudar en este de :

((AnB)U(CnD))^c= (A^c U B^c)n(C^c U D^c)

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¡Inténtalo! Y me muestras lo que has hecho, es la manera en que te puedo ayudar, de resto no. Cordial saludo.

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esuq estoy iniciando este tema y es como un reto pero no me doy una idea de como resolverlo

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Como profesor te doy este consejo: Intenta, trata de resolver los ejercicios. Si careces de ideas de como iniciar: mira como se resolvieron los ejercicios que publicaste.
Has colocado dos ejercicios y ambos han sido resueltos, no te conviene colocar todos los ejercicios en la web y esperar por una solución. Eso solo ejercita a nosotros, no a ti.

Cordial saludo, y duro con esos ejercicios.

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cierto tiene razon. aunque son temas nuevos para mi debo enfrentar ese reto. gracias por el buen consejo, intentare resolverlo

Answer 2

Una solución más sucinta:

Suponiendo que $A$ y $B$ son subconjuntos de algún conjunto $X$ y que todos los complementos son relativos a este conjunto $X$:

$\begin{eqnarray}

(A \cup B^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}} \cup (A^{\mathrm{c}} \cap B^{\mathrm{c}}) &=& (A^{\mathrm{c}} \cap B) \cup  (A^{\mathrm{c}} \cap B^{\mathrm{c}})\\

&=& A^{\mathrm{c}} \cap (B \cup B^{\mathrm{c}})\\

&=& A^{\mathrm{c}} \cap X\\

&=& A^{\mathrm{c}}.\end{eqnarray}$

El lado derecho de la primera igualdad se obtiene aplicando la respectiva ley de Morgan. Para pasar a la expresión en el segundo renglón hay que aplicar la propiedad distributiva de $\cap$ sobre $\cup$.